Расчет балки-стенки при помощи рядов фурье

В предыдущем разделе методических указаний доказано, что исходная кусочно-постоянная нагрузка и может быть представлена в виде одинарного ряда Фурье вида (9) или (10). При этом каждая

компонента нагрузки на верхней и нижней гранях балки-стенки обладает большой степенью общности. Это позволяет существенно расширить область применения решения по сравнению со случаем использования функции напряжений в виде полиномов [1].

Далее возможно рассчитать балку-стенку отдельно на действие каж­дого члена ряда разложения нагрузки (9) или (10). При этом бигармоническое уравнение (4) удовлетворяется, если взять функцию напряжений Эри в виде:

, (13)

где i - любое целое положительное число. Случай задания

будет рассмотрен далее.

Если подставить (13) в (4), то с использованием обозна­чения

(14) получаем следующее обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка:

(15)

12

Общее решение для уравнения (15) с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (16)

Тогда функция напряжений примет вид:

, (17)

а компоненты тензора напряжений будут определяться формулами:

, (18)

Подчеркнем, что при рассмотрении в рядах (9), (10) гармонических составляющих с большими значениями i получаются большие величины аргументов в гиперболических функ­циях , через которые ищется решение задачи по вертикальному направлению. Именно поэтому при росте величины i в (9), (10) возрастают погрешности вычисления величин напряжений .

В этой связи представляет значи­тельный интерес выяснение вопроса о наибольших допустимых для современных ПЭВМ величинах номера гармоники в рядах (9), (10).

Прежде всего, установим степень близости величин функций и для различных значений параметра , при­чем вычисления проводим с точностью EXTENDED, являющейся наи­высшей для современных языков программирования для ПЭВМ. В табл. 4 приведены величины и для различных значений параметра при выбранном соотношении .

Таблица 4

i	1	2	3		4	5	6	7
	1,3246	2,5091	5,3227		11,592	25,387	55,663	122,08
	0,8687	2,3013	5,2280		11,548	25,367	55,654	122,07
i	8	9		10		20
	267,75	587,242		1287,9854		3317811,99967064
	267,74	587,241		1287,9850		3317811,99967049

13

При i = 30 величины и совпадают с точностью до 16-го знака. Это приводит к необходимости перехода к показательной форме решения для функции :

с удержанием при весьма больших значениях i лишь убывающих экспоненциальных членов [1, с. 101-102]:

Однако при действии нагрузок с меньшей степенью локализа­ции

можно избежать перестройки расчетных формул. Рассмотрим бал­ку-стенку, нагруженную вертикальными усилиями по верхней и нижней

грани с интенсивностями и соответственно (рис. 8).

Рис. 8

Данные рис. 8 соответствует случаю, когда , А>0, B>0. Распределение напряжений определяется формулами (18). Постоянные интегрирования необходимо найти из условия на верхней и нижней гранях балки – стенки:

(19)

Подставляя (19) в третье уравнение (l8), получаем формулы:

(20)

Из уравнений (20) находим:

(21)

14

При использовании (19) и формулы для (l8) получаем:

(22)

Складывая и вычитая уравнения (22) и используя соотношение (21), находим:

(23)

Подставляя (23) в (18), получаем окончательный вид формул для компонент тензора напряжений .

Следует иметь в виду, что на многих современных микрокалькуляторах отсутствуют вычисления гиперболических функций и , поэтому приходится использовать формулы:

.

Очевидно, что для значения в процессе вычислений величины и определяются один раз, но это позволяет определить для формул (23) величины:

.

Совершенно аналогично следует вести вычисления и при опре­делении значений по формулам (18) . Отметим, что при задании функции напряжений в виде

(24)

решение получается способом, аналогичным рассмотренному выше. При этом вновь определяются по формулам (23), а выражения для напряжений будут;

(25)

где формулы для записаны в квадратных скобках формул (18).

Таким образом, при действии нормальных нагрузок по верхней и нижней граням балки-стенки величины вы­числяется по форму-

15

лам (18), если раскладывается в ряд (9) или по формулам (25), если раскладывается в ряд (10).

Рассмотрим конкретный пример расчета для балки-стенки с , изображенной на рис. 9.

Рис. 9

15

По формулам (23) вычисляем , , , . Подставляем величины в формулы (18) и строим эпюры в сечении , рис. 10 а, б, а также эпюру в сече­нии , где , рис 10 в.

a) b) в)

Рис. 10

Переходим к изложению методики вычисления напряжений в балке-стенке от действия касательных усилий по верхней и нижней ее поверхностям. Берем функцию напряжений в виде

. (26)

16

Подставляем (26) в бигармоническое уравнение (4) и получаем:

, (27)

где . Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (27) име­ет вид:

, (28)

а формулы для напряжений будут:

, (29)

.

Рассмотрим балку-стенку, нагруженную горизонтальными непрерывно распределенными усилиями по верхней и нижней грани с интенсивностями и соответственно (рис. 11), причем для балки-стенки .

Рис. 11

Постоянные интегрирования находим из условий на верхней и нижней гранях балки-стенки при y=± h/2:

(30)

Подставляя (30) во второе уравнение (29) , получаем:

(31)

17

Из уравнения (31) находим:

(32)

При использовании (30) и формулы для (29) получаем:

(33)

Складывая и вычитая уравнения (33) и используя соотношения (32), находим:

(34)

Подставляя (34) в (29), получаем окончательный вид для компонент тензора напряжений .

Заметим, что при расчете на касательные усилия на гранях функцию напряжений можно взять в виде:

(35)

В этом случае решение получается аналогично алгоритму по формулам (30) – (33), вновь определяются фор­мулами (34), а выражения для напряжений будут:

(36)

где формулы для , записаны в квадратных скобках формул (29).

Отметим, что конкретные численные расчеты балок-стенок на действие про­извольного члена ряда разложения тангенциальной нагрузки

18

не отличаются от рас­четов на конкретный член ряда разложения , представленных на рис. 10. Следует лишь помнить о смене формул для констант функции .

Таким образом, в данном разделе методических указаний приведены расчетные формулы и рас­смотрены примеры расчетов как на нормальные, так и на касательные нагруз­ки в виде одного конкретного слагаемого в ряду представле­ния функции напряжений

Далее в методических указаниях рассмотрены вопросы получе­ния для балки-стенки решения с заданной степенью точности на действие реальной проектной нагрузки. Для получения данного решения необходимо суммировать результаты от действия отдель­ных членов ряда разложения нагрузки.

Однако важным с практической точки зрения является и сопоставление решения, получаемо­го методами теории упругости, с решением по технической теории изгиба балок, которому посвящен следующий раздел методических указаний.