Исходные данные для построения изоквант

К	Q01 = 120	Q01 = 140	Q01 = 160	Q01 = 180	Q01 = 200
100 150 200 250 300 350 400 430

По данным табл. 3.1 строим изокванты производственной функции (рис. 3.1). Для наглядности представлены также изокванты Q₀ = 110, Q₀ = 130, Q₀ = 150, Q₀ = 190. Видно, что переменная L оказывает на функцию значительно большее влияние, чем К.

Рис. 3.1. График производственной функции Q = 0,835 K^0,23L^0,81, построенный средствами программы Mathcad 7.0 (переменная L — горизонтальная ось, переменная К —вертикальная ось)

3). Построение касательных к изоквантам в точках производства, отвечающих заданной величине вложенного капитала К₀ = 300.

Вначале рассчитаем координаты точек изоквант, отвечающих заданной величине вложенного капитала К₀ = 300. Из рис. 3.1 следует, что величине вложенного капитала К₀ = 300 отвечают три изокванты: Q₀₂ = 140, Q₀₃ = 160, Q₀₄ = 180. В табл. 3.1 находим соответствующие им значения затраченного труда L: L ₀₂ = 110,4; L ₀₃ = 130,1; L ₀₄ = 150,5. Получаем координаты точек изоквант (К₀, L₀):

• изокванты Q₀₂ = 140 — (300; 110,4);

• изокванты Q₀₃ = 160 — (300; 130,1);

• изокванты Q₀₄ = 180 — (300; 150,5).

Уравнение касательной к изокванте 0,835K^0,23L^0,81 = Q₀ в точке (К₀, L₀) записывается так:

= 0.

Находим частные производные:

= =0,230,835 ;

= =0,810,835 .

В табл. 3.2 представлены результаты расчета параметров касательных для различных изоквант.

Таблица 3.2

Исходные данные для построения касательных

	Параметры касательных
Изокванты	K0	L0			Угловой коэффициент
Q02 = 140 Q03 = 160 Q04 = 180	300 300 300	110.368 130.148 150.519	0.107 0.123 0.138	1.027 0.996 0.969	9.60 8.10 7.02

Получаем следующие уравнения касательных:

• к изокванте Q₀₂ = 140: 0,107 (К  300) + 1,027 (L  110,4) = 0;

• к изокванте Q₀₃ = 160: 0,123 (К  300) + 0,996 (L  130,1) = 0;

• к изокванте Q₀₄ = 180: 0,138 (К  300) + 0,969 (L  150,5) = 0.

Эти касательные представляют собой прямые, проходящие через точки с координатами (К₀, L₀) с отрицательным наклоном к оси L, равным отношению / с отрицательным знаком (последняя колонка табл. 3.2).

На рис. 3.2 изображены изокванты Q₀₂ = 140, Q₀₃ = 160, Q₀₄ = 180 с касательными в точках производства, отвечающих заданной величине вложенного капитала К₀ = 300.

Рис. 3.2. Изокванты Q₀₂ = 140, Q₀₃ = 160, Q₀₄ = 180 и касательные к ним в точках производства с величиной вложенного капитала К₀ = 300 (горизонтальная линия)

4). Интерпретация математических понятий по пп. 2—3.

Изокванты Q₀₂ = 140, Q₀₃ = 160, Q₀₄ = 180 представляют собой линии уровня функции Q двух переменных К и L: Q = f(К, L). Поскольку производственная функция Q = 0,835 K^0,23L^0,81 возрастает с ростом обеих переменных, большим значениям Q отвечают изокванты, которые дальше отстоят от начала координат. Изокванты не пересекаются, так как Q = 0,835 K^0,23L^0,81 является монотонной и однозначной функцией.

Касательными к изоквантам являются прямые линии, имеющие только одну общую точку с изоквантами. Угловой коэффициент касательных равен первой производной переменной L по переменной К при условии Q = const. Знак углового коэффициента отрицательный, т.е. при условии Q = const увеличение одной переменной должно быть скомпенсировано уменьшением другой переменной. Абсолютная величина углового коэффициента значительно больше единицы, что отражает большее влияние на функцию переменной L по сравнению с переменной К.

5). Расчет выпуска продукции, а также предельных продуктов труда и капитала для производства с заданными показателями (К₀, L₀) = (300; 140).

Расчет выпуска продукции производим по производственной функции подстановкой значений переменных К₀, L₀:

Q₀ = 0,835(K₀)^0,23(L₀)^0,81 = 0,835300^0,23140^0,81 = 169,7;

Расчет предельного продукта труда и капитала производим по полученным ранее формулам:

= = 0,810,835 ; = = 0,230,835 ,

однако в отличие от частных производных и , являющихся математическими понятиями и не имеющих размерности, предельные показатели и имеют размерность единиц выпуска на единицу труда и капитала соответственно. Подставляя значения К₀ = 300 и L₀ = 140, получаем:

(300; 140) = 0,810,835 = 0.982 ед. продукции на ед. труда;

(300; 140) =0,230,835 = 0.13 ед. продукции на ед. капитала.

6). Расчет коэффициента заменяемости ресурсов для производства с заданными показателями (К₀, L₀) = (300; 140) производим по формуле R = :

R(300; 140) = 0.982 / 0.13 = 7.32 ед. капитала на ед. труда.

7). Расчет эластичности выпуска по труду и капиталу и производства в целом с заданными показателями (К₀, L₀) = (300; 140) производим по формулам:

E_L = (300; 140); E_K = (300; 140); E = E_K + E_L.

Подставляя значения К₀, L₀, , , получаем:

E_L = (300; 140) = (140 / 169,7)  0.982 = 0,81;

E_K = (300; 140) = (300 / 169,7)  0.13 = 0.23;

E = E_K + E_L = 0,81 + 0.23 = 1,04.

8). Интерпретация экономических понятий по пп. 5—7.

Предельные продукты труда и капитала в точке изокванты производственной функции Q₀ = 169,7 единиц продукции соответственно равны 0,982 ед. продукции на ед. труда и 0,13 ед. продукции на ед. капитала. Это интерпретируется так: производство продукции Q₀, характеризующееся величинами капитала К₀ = 300 ед. и труда L₀ = 140 ед., при увеличении труда L на одну ед. увеличивается на 0,98 ед., а при увеличении капитала K на одну ед. увеличивается на 0,13 ед. Таким образом, увеличение труда является более эффективным.

Коэффициент заменяемости ресурсов в точке изокванты производственной функции Q₀ = 169,7 единиц продукции составляет 7,32 ед. капитала на ед. труда. Это означает, что для того, чтобы выпуск продукции не изменился, надо при уменьшении на единицу вложенного труда увеличить вложение капитала на 7,32 единиц.

Эластичность выпуска по труду и капиталу производства с заданными показателями труда К₀ = 300 ед. и капитала L₀ = 140 ед. составляет 0,81 и 0,23 соответственно. Это означает, что при относительном увеличении (уменьшении) труда и капитала на 1% рост (снижение) выпуска продукции составит 0,81 и 0,23% соответственно.

Эластичность производства в целом составляет 1,04. Это означает, что при одновременном относительном увеличении (уменьшении) труда и капитала на 1% рост (снижение) выпуска продукции составит 1,04%. Производство в целом можно оценить как эффективное, поскольку при увеличении масштаба производства в k раз (увеличении капитала и труда в k раз) выпуск продукции увеличится в в 1,04k раз.