Раздел 3. Cамостоятельная работа по приложению математического анализа функций многих переменных к задачам экономики и управления

3.1. Цели самостоятельной работы.

1. Изучение основных математических понятий теории функций многих переменных на примере производственной функции Кобба—Дугласа.

2. Изучение экономических понятий, связанных с производственной функцией.

3. Интерпретация математических и экономических понятий, связанных с производственной функцией, с целью управления.

3.2. Задачи самостоятельной работы.

1. Построить график производственной функции Кобба—Дугласа Q = AK^L^ в заданной области ее определения K = {K_мин, K_макс} и L = {L_мин, L_макс} в виде семейства изоквант.

2. Построить касательные к изоквантам в точках производства, отвечающих заданной величине вложенного капитала K = K₀.

3. Дать интерпретацию математических понятий, связанных с изоквантами производственной функцией и касательным к ним.

4. Рассчитать выпуск продукции, а также предельные продукты труда и капитала для производства с заданными показателями (K₀, L₀).

5. Рассчитать коэффициент заменяемости ресурсов для производства с данными показателями.

6. Рассчитать эластичность выпуска по труду и капиталу, производства в целом.

7. Дать интерпретацию экономических понятий по пп. 4—6, сделать выводы по эффективности производства, характеризуемого заданной производственной функцией, и возможности управления с целью повышения его эффективности.

3.3. Указания к выполнению самостоятельной работы.

1. Самостоятельная работа оформляется в компьютерном, машинописном или рукописном исполнении.

2. На титульном листе указывается факультет, форма образования, специальность, группа, Ф.И.О. слушателя, название и № варианта работы.

3. Работа должна содержать все необходимые пояснения.

4. Формулы должны содержать расшифровку принятых слушателем обозначений.

5. Страницы должны быть пронумерованы, рисунки и таблицы снабжены заголовками.

6. В конце работы приводится перечень использованных литературных источников.

3.4. Пример выполнения самостоятельной работы

1). Исходные данные. В качестве исходных данных в примере используется производственная функция Кобба—Дугласа, полученная по результатам обработки индексов реального объема производства Q, капитальных затрат K и затрат труда L в промышленности США в период 1899—1922 гг.:

Q = 0,835 K^0,23L^0,81,

аппроксимирующей фактические данные в диапазоне изменения переменных

K = {K_мин, K_макс}= {100, 430};

L = {L_мин, L_макс} = {100, 160}.

2). Построение двумерного графика в виде семейства изоквант. Так как производственная функция Q = 0,835 K^0,23L^0,81 монотонно возрастает в области ее определения, то ее наименьшее и наибольшее значения отвечают соответственно наименьшим и наибольшим значениям величин K и L:

Q_мин = 0,835 (K_мин)^0,23(L_мин)^0,81 = 0,835100^0,23100^0,81 = 100.389;

Q_макс = 0,835 (K_макс)^0,23(L_макс)^0,81= 0,835430^0,23160^0,81 = 205.457.

Область изменения функции Q = {100; 205}, поэтому можно построить графики следующих изоквант: Q₀₁ = 120, Q₀₂ = 140, Q₀₃ = 160, Q₀₄ = 180 и Q₀₅ = 200.

Из уравнений изоквант 0,835K^0,23L^0,81 = Q_0i получаем взаимосвязь между переменными L_i и K при постоянном выпуске:

L_i = .

В табл. 3.1 представлены результаты расчета показателя L_i для различных изоквант.

Таблица 3.1