8.6. Целочисленное программирование.

1. Решить задачу графически МЕТОДом ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ (все переменные неотрицательны).

1) z=x₁+2x₂→max 2) z=3x₁+4x₂→min 3) z=x₁+7x₂→max 4) z=x₁-3x₂→max 5) z=2x₁-6x₂→max

x₁+x₂≥1 3x₁+2x₂≥7 -x₁+x₂≤4 x₁+2x₂≥3 x₁+x₂≥4

-2x₁+x₂≤2 -3x₁+2x₂≤7 x₁+x₂≥2 x₁-2x₂≤2 2x₁-6x₂≤13

x₁+x₂≤4, x₁≤3 2x₁-4x₂≤8, x₁≥1 x₁+2x₂≤10, x₁≥1 x₁+2x₂≤6, x₁≥1 x₁≥2

6) z=2x₁+x₂→min 7) z=2x₁+4x→max₂ 8) z=2x₁+x₂→min 9) z=3x₁+2x₂→max 10) z=x₁-2x₂→max

x₁+3x₂≥8 -x₁+3x₂≥0 x₁+4x₂≥9 3x₁+4x₂≤12 x₁+x₂≥2

x₁+x₂≤8 3x₁+6x₂≤12 2x₁+4x₂≤16 2x₁+x₂≥2 x₁-x₂≤1

-2x₁+x₂≤2 -4x₁+2x₂≤8 x₁-x₂≤2 x₁-2x₂≤0

11) z=x₁+3x₂→max 12) z=2x₁+3x→max₂ 13) z=x₁+x₂→max 14) z=3x₁-2x₂→max 15) z=5x₁-3x₂→min

x₁-x₂≥0 x₁+x₂≥1 x₁+2x₂≥2 3x₁+4x₂≥20 3x₁+2x₂≥6

x₁-x₂≤1 3x₁+2x₂≤6 x₁+2x₂≤10 2x₁+x₂≤11 -2x₁+3x₂≤6

2x₁+x₂≤2 -x₁+x₂≤2 2x₁+x₂≤10 -3x₁+2x₂≤10 x₁-x₂≤4

16) z=x₁+2x₂→min 17) z=7x₁-2x₂→max 18) z=2x₁+x→max₂ 19) z=2x₁+2x₂→max 20)z=2x₁+4x₂→min

3x₁+4x₂≥27 x₁+x₂≥1 5x₁+2x₂≥10 x₁+x₂≥3 2x₁+7x₂≥9

2x₁+x₂≤14 5x₁-2x₂≤3 4x₁-3x₂≤12 -3x₁+2x₂≤6 8x₁-5x₂≤16

-3x₁+2x₂≤9 2x₁+x₂≤4 7x₁+4x₂≤28 x₁≤3

21) z=x₁+2x₂→min 22) z=3x₁+3x₂→max 23) z=2x₁-x₂→min 24)z=7x₁+x₂→max 25) z=x₁+x₂→min

x₁+x₂≥4 x₁+2x₂≥2 x₁+x₂≥4 5x₁+3x₂≥21 3x₁+x₂≥8

5x₁-2x₂≤4 3x₁+2x₂≤6 -x₁+x₂≤3 x₁+x₂≤14 x₁+2x₂≤6

-x₁+2x₂≤4 -x₁+x₂≤1 6x₁+7x₂≤42 3x₁-5x₂≤15 x₁-x₂≤3

26) z=-3x₁+6x₂→min 27) z=-2x₁+x₂→min 28) z=-2x₁+x₂→min 29) z=x₁-2x₂→min 30) z=2x₁-4x₂→min

x₁+x₂≥4 x₁+3x₂≥6 -3x₁+2x₂≥3 x₁+2x₂≥2 x₁+3x₂≥2

5x₁-2x₂≤4 2x₁+x₂≤8 2x₁+x₂≤8 -x₁+x₂≤3 8x₁-5x₂≤16

-x₁+2x₂≤4 -2x₁+x₂≤4 x₁+x₂≤6 6x₁+7x₂≤42 2x₁+7x₂≤9

2. Дана задача линейного программирования

z=c₁x₁+c₂x₂max (min),

а₁₁x₁+а₁₂x₂≤b₁,

а₂₁x₁+а₂₂x₂≤b₂,

а₃₁x₁+а₄₂x₂≥b₃,

x_j0, j=1÷2

Графически найти максимальное и минимальное целочисленные решения задач (методом ветвей и границ). Решить задачу методом отсечений Гомори (для максимального или минимального значения целевой функции − по своему смотрению). Коэффициенты ограничений и целевой функции приведены в таблице.

№ вар.	а11	а12	b1	а21	а22	b2	а31	а32	b3	c1	c2
1	6	4	37	5	6	43	2	3	5	4	5
2	8	5	42	5	7	33	4	2	5	3	2
3	7	10	68	9	7	65	3	2	7	-1	-1
4	4	6	41	6	4	38	2	4	5	-3	-5
5	8	6	51	-5	7	34	-2	6	7	2	3
6	10	7	73	-5	2	9	2	5	12	4	3
7	8	9	75	7	-5	32	2	8	17	-3	-2
8	15	8	110	5	10	53	2	12	25	-3	4
9	9	12	118	-2	4	-7	10	5	52	-5	2
10	3	-10	31	6	13	75	10	2	21	-2	3

3. Для задач 1–30:

а) определить всевозможные варианты распила досок на заготовки нужной длины (т.е. составить карту раскроя);

б) составить математическую модель в виде задачи целочисленного программирования;

в) решить задачу методом отсечений Гомори или с помощью MathCAD;

г) найти все оптимальные решения задачи.

Формулировка задачи. Доски длиной L, имеющиеся в достаточном количестве, следует распилить на заготовки двух видов: длиной l₁ и длиной l₂, причём заготовок первого вида должно быть получено не менее n₁ штук и заготовок второго вида – не менее n₂ штук. Каждая доска может быть распилена на указанные заготовки несколькими способами. Требуется найти число досок, распиливаемых каждым способом, с тем, чтобы необходимое количество заготовок было получено из наименьшего количества досок. Все необходимые числовые данные указаны в таблице.

Номер задачи	L, м	l1, м	l2, м	n1	n2		Номер задачи	L, м	l1, м	l2, м	n1	n2
1	2,5	0,9	0,8	76	69		16	3,6	1,6	1,0	74	73
2	3,4	1,4	1,0	62	66		17	2,6	0,7	1,1	81	74
3	2,0	0,6	0,8	90	86		18	4,1	1,4	1,3	76	45
4	2,3	1,1	0,6	88	77		19	1,8	0,5	0,8	67	52
5	3,7	0,8	1,3	54	62		20	2,1	0,9	0,6	58	42
6	2,8	1,0	0,9	68	93		21	3,5	1,0	1,5	57	70
7	4,3	1,4	1,5	85	56		22	4,0	1,8	1,1	60	90
8	1,7	0,7	0,5	38	84		23	2,7	0,8	1,1	45	56
9	3,9	1,2	1,5	91	40		24	3,0	1,2	0,9	50	81
10	2,2	1,0	0,6	44	71		25	3,3	1,0	1,3	63	70
11	2,9	0,8	1,2	78	70		26	3,8	1,4	1,2	80	99
12	1,6	0,6	0,5	86	94		27	3,7	1,1	1,5	87	62
13	4,4	1,3	1,8	79	48		28	4,2	1,6	1,3	92	78
14	1,9	0,9	0,5	60	70		29	3,2	0,9	1,4	75	65
15	2,4	0,7	0,9	57	92		30	4,5	1,7	1,4	86	90