8.2. Задачи нелинейного программирования.
Для задач 1–40:
1) составить математическую модель задачи применительно к числовым данным выполняемого варианта;
2) решить полученную задачу с помощью MathCAD как задачу нелинейного программирования;
3) графическим методом решить полученную задачу и сформулировать ответ в экономических терминах в соответствии с условиями задачи.
Формулировка
задачи. Предприятие
выпускает изделия А
и В,
при изготовлении которых используется
сырьё S1
и S2.
Известны запасы bi
(i=1,2)
сырья, нормы aij
(j=1,2)
его расхода на единицу изделия, плановая
себестоимость
и оптовые цены рj.
Как только объём выпускаемой продукции
перестаёт соответствовать оптимальным
размерам предприятия, дальнейшее
увеличение выпуска хj
ведёт к повышению себестоимости
продукции, и в первом приближении
фактическая себестоимость сj
описывается функцией сj=
+схj,
где с
– некоторая постоянная величина. При
поиске плана выпуска изделий,
обеспечивающего предприятию наивысшую
прибыль в условиях нарушения баланса
между объёмом выпуска и оптимальными
размерами предприятия, целевая функция
принимает вид
z=(р1-(
+сх1))х1+(р2-(
+сх2))х2,
а ограничения по сырью
a11х1+a12х2≤b1,
a21х1+a22х2≤b2,
х1≥0, х2≥0
(нормы расхода сырья aij от хj не зависят).
Все необходимые числовые данные указаны в таблице.
Номер задачи |
b1 |
b2 |
a11 |
a12 |
a21 |
a22 |
р1 |
р2 |
|
|
с |
1 |
90 |
88 |
13 |
6 |
8 |
11 |
12 |
10 |
7 |
8 |
0,2 |
2 |
30 |
60 |
5 |
2 |
8 |
11 |
8 |
7 |
6 |
4 |
0,1 |
3 |
60 |
10 |
11 |
8 |
1 |
2 |
10 |
11 |
7 |
9 |
0,1 |
4 |
14 |
42 |
1 |
4 |
7 |
3 |
15 |
13 |
14 |
11 |
0,2 |
5 |
7 |
10 |
1 |
1 |
1 |
2 |
12 |
11 |
9 |
10 |
0,2 |
6 |
51 |
105 |
5 |
13 |
15 |
7 |
15 |
13 |
13 |
10 |
0,1 |
7 |
40 |
84 |
4 |
7 |
12 |
7 |
11 |
17 |
9 |
14 |
0,2 |
8 |
13 |
10 |
2 |
3 |
2 |
1 |
14 |
16 |
12 |
13 |
0,2 |
9 |
72 |
10 |
9 |
8 |
1 |
2 |
23 |
19 |
20 |
13 |
0,3 |
10 |
84 |
31 |
7 |
12 |
5 |
3 |
21 |
27 |
15 |
24 |
0,3 |
11 |
15 |
52 |
2 |
1 |
4 |
13 |
8,6 |
5,4 |
5 |
4,6 |
0,2 |
12 |
22,5 |
104 |
3 |
1,5 |
8 |
26 |
5 |
4 |
2,25 |
3,25 |
0,125 |
13 |
30 |
102 |
4 |
2 |
6 |
17 |
12 |
14 |
8 |
12 |
0,2 |
14 |
51 |
105 |
3 |
8,5 |
14 |
7 |
12 |
8 |
5 |
4,5 |
0,25 |
15 |
45 |
136 |
6 |
3 |
8 |
17 |
13 |
12 |
7,4 |
7,2 |
0,4 |
16 |
7,5 |
68 |
1 |
0,5 |
7 |
8,5 |
12,75 |
16 |
10 |
14 |
0,125 |
17 |
60 |
125 |
8 |
4 |
11 |
15 |
8 |
9 |
4,8 |
5,4 |
0,2 |
18 |
12 |
82,5 |
1,6 |
0,8 |
5,5 |
7,5 |
17 |
22,5 |
11 |
17 |
0,25 |
19 |
75 |
228 |
10 |
5 |
12 |
19 |
12 |
20 |
6,4 |
11,2 |
0,4 |
20 |
37,5 |
114 |
5 |
2,5 |
6 |
9,5 |
15,5 |
21,75 |
12,75 |
18,5 |
0,125 |
21 |
90 |
260 |
12 |
6 |
13 |
20 |
6 |
8 |
3,6 |
2,8 |
0,2 |
22 |
22,5 |
130 |
3 |
1,5 |
6,5 |
10 |
17 |
18,5 |
12 |
11 |
0,25 |
23 |
12 |
60 |
1 |
2 |
10 |
6 |
5 |
8 |
2,6 |
2,4 |
0,4 |
24 |
18 |
30 |
1,5 |
3 |
5 |
3 |
6,25 |
6,25 |
5 |
4 |
0,125 |
25 |
24 |
80 |
2 |
4 |
10 |
8 |
21 |
18,6 |
19 |
16,2 |
0,2 |
26 |
30 |
40 |
2,5 |
5 |
5 |
4 |
4 |
7 |
1 |
3 |
0,25 |
27 |
36 |
10 |
3 |
6 |
1 |
1 |
8 |
6 |
2,4 |
2 |
0,4 |
28 |
42 |
20 |
3,5 |
7 |
2 |
2 |
4 |
2,25 |
2 |
0,5 |
0,125 |
29 |
48 |
140 |
4 |
8 |
14 |
10 |
15,6 |
23,8 |
12 |
22,2 |
0,2 |
30 |
54 |
70 |
4,5 |
9 |
7 |
5 |
9 |
5 |
4 |
2 |
0,25 |
Номер задачи |
b1 |
b2 |
a11 |
a12 |
a21 |
a22 |
р1 |
р2 |
|
|
с |
31 |
52 |
15 |
4 |
13 |
2 |
1 |
6,46 |
9,6 |
5,6 |
6 |
0,2 |
32 |
104 |
22,5 |
8 |
26 |
3 |
1,5 |
5 |
6 |
4,25 |
3,25 |
0,125 |
33 |
5 |
30 |
0,5 |
1 |
5,5 |
4 |
9 |
8 |
6 |
6 |
0,1 |
34 |
42 |
7 |
7 |
3 |
0,5 |
2 |
12 |
14 |
11 |
12 |
0,2 |
35 |
5 |
7 |
0,5 |
1 |
1 |
1 |
11 |
12 |
8 |
11 |
0,2 |
36 |
105 |
51 |
15 |
7 |
5 |
13 |
10 |
10 |
8 |
7 |
0,1 |
37 |
125 |
60 |
11 |
15 |
8 |
4 |
7 |
8 |
3,8 |
4,4 |
0,2 |
38 |
82,5 |
12 |
5,5 |
7,5 |
1,6 |
0,8 |
10 |
10 |
4 |
4,5 |
0,25 |
39 |
228 |
75 |
12 |
19 |
10 |
5 |
8 |
16 |
2,4 |
7,2 |
0,4 |
40 |
114 |
37,5 |
6 |
9,5 |
5 |
2,5 |
10 |
10,25 |
7,25 |
7 |
0,125 |
В задачах 41–50:
дана линейная целевая функция и нелинейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.
При этом в №№41–45 принять математическую модель задачи вида
L=c1х1+c2х2,
≤b1,
х1≥0, х2≥0;
в №№46–50 – вида
L=c1х1+c2х2,
х1х2≤b1,
х1≤b2,
х2≤b3,
х1≥0, х2≥0.
Значения коэффициентов целевых функций и систем ограничений приведены в таблице.
Значения |
№ задачи |
|||||||||
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
|
c1 |
2 |
1 |
-1 |
2 |
-3 |
2 |
3 |
-2 |
2 |
-1 |
c2 |
3 |
2 |
-2 |
1 |
-1 |
3 |
2 |
-1 |
1 |
-2 |
b1 |
16 |
36 |
25 |
4 |
9 |
3 |
2 |
5 |
4 |
2 |
b2 |
– |
– |
– |
– |
– |
4 |
6 |
5 |
7 |
8 |
b3 |
– |
– |
– |
– |
– |
5 |
7 |
4 |
5 |
6 |
В задачах 51–60:
дана нелинейная целевая функция и линейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.
Математическая модель задачи:
L=(х1+а)2+(х2+b)2,
а11х1+а12х2≤b1,
а21х1+а22х2≤b2,
х1≥0, х2≥0.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений приведены в таблице.
Значения |
№ задачи |
||||||||||
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
||
а |
-5 |
-6 |
-1 |
-2 |
-3 |
-1 |
-3 |
-2 |
-2 |
1 |
|
b |
-4 |
-2 |
-1 |
-1 |
-4 |
-1 |
-1 |
-6 |
-2 |
-1 |
|
а11 |
5 |
2 |
5 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
6 |
6 |
|
а12 |
-4 |
5 |
-4 |
5 |
8 |
5 |
8 |
5 |
7 |
7 |
|
b1 |
-20 |
20 |
-20 |
20 |
24 |
15 |
24 |
15 |
42 |
42 |
|
а21 |
3 |
2 |
3 |
2 |
4 |
5 |
4 |
5 |
3 |
3 |
|
а22 |
2 |
1 |
2 |
1 |
7 |
3 |
7 |
3 |
-2 |
-2 |
|
b2 |
30 |
10 |
30 |
10 |
28 |
15 |
25 |
15 |
-6 |
-6 |
|
В задачах 61–70:
дана нелинейная целевая функция и нелинейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.
При этом в №№61–65 принять математическую модель задачи вида
L=(х1+а)2+(х2+b)2
х1х2≤b1,
х1≤b2,
х2≤b3,
х1≥0, х2≥0;
в №№66–70 – вида
L=(х1+а)2+(х2+b)2
≤b1,
х1≤b2,
х2≤b3,
х1≥0, х2≥0.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений приведены в таблице.
Значения |
№ задачи |
|||||||||
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
|
а |
1 |
-2 |
1 |
-1 |
2 |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
-2 |
b |
-1 |
1 |
-2 |
-1 |
2 |
-2 |
1 |
-1 |
-2 |
0 |
b1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
2 |
16 |
25 |
36 |
4 |
9 |
b2 |
6 |
5 |
4 |
5 |
3 |
3,5 |
4,5 |
5,5 |
6,5 |
2,8 |
b3 |
5 |
6 |
5 |
4 |
6 |
3,5 |
4,5 |
5,5 |
6,5 |
2,8 |