Введение 

Лекции предназначены для студентов инженерно–технических специальностей (кроме архитектурных и строительных), их содержание соответствуют программе курса начертательной геометрии.

Начертательная геометрия входит в состав учебной дисциплины федерального значения, название которой  в зависимости от специальности: «Начертательная геометрия и инженерная графика», «Инженерная и машинная графика» или просто «Инженерная графика». Инженерная графика – это единственная дисциплина целью, которой является непосредственно обучение студентов работе с различной по виду и содержанию графической информацией, основам графического представления информации, методам графического моделирования геометрических объектов, правилам разработки и оформления конструкторской документации, графических моделей явлений и процессов. Графическая информация является средством общения во всех сферах деятельности человека. И в этом смысле в процессе изучения графических дисциплин студент должен приобрести навыки работы с любой по назначению и виду графической информацией от традиционного чертежа и текстового документа до рекламного ролика и Web–страниц, выполненных средствами компьютерной графики.

Государственный образовательный стандарт устанавливает требования к содержанию и объему дисциплины в зависимости от специальности или направления. Содержание начертательной геометрии для специальностей машиностроительного профиля включает следующие темы:

 Предмет начертательной геометрии;

 Задание точки, прямой, плоскости и многогранников на комплексном чертеже Монжа;

 Позиционные задачи;

 Метрические задачи;

 Способы преобразования чертежа;

 Многогранники;

 Кривые линии;

 Поверхности (поверхности вращения; линейчатые поверхности; винтовые поверхности; циклические поверхности);

 Построение разверток поверхностей;

 Касательные линии и плоскости к поверхности;

 Аксонометрические проекции.

Лекции признаны способствовать самостоятельному изучению  начертательной геометрии студентами технических вузов, и являются составной частью авторского учебно-методического обеспечения направленного на реализацию идеи индивидуализации и дифференциации обучения. Использование электронного учебного пособия «Начертательная геометрия», позволяет повысить наглядность и подробность представления учебной информации.

Лекция №1  

Предмет начертательной геометрии

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Изображение фигуры на плоскости как графический способ представления информации о ней имеет преимущества в сравнении с другими способами:

– общение становится более доступным, потому что образы, создаваемые на основе визуального (зрительного) восприятия, обладают большей, чем слова, ассоциативной силой;

– изображения являются интернациональным языком общения, тогда как, например, вербальное общение требует для понимания, как минимум знания языка собеседника.

Таким образом теоретические основы визуализации информации о геометрических объектах, многообразие геометрических объектов пространства, отношения между ними и их графического отображения на плоскости составляют предмет начертательной геометрии.

Задача этой науки – создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка теории графического отображения объектов и процессов.

Начертательная геометрия со времен ее основоположника Г. Монжа (1746-1818)  завоевала свое достойное место в высшей школе как наука. Важнейшее прикладное значение начертательной геометрии как учебной дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком, выполнять и читать чертежи и другие изображения геометрических объектов, без чего немыслимо формирование инженера. Она обеспечивает преемственность между школьными курсами геометрии и черчения и графическими дисциплинами вуза.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность - по плоскому изображению мысленно создавать представления о форме предмета и наоборот создание изображений мысленно созданных образов – визуализация мысли.

Однако не всякое изображение отображает геометрические свойства оригинала и не может быть принято для всестороннего его исследования. Принципиальное отличие методов изображения, изучаемых в курсе начертательной геометрии, от некоторых современных технических средств отображения (фотография, голография и др.), заключается в возможности с большой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возникающие в нашем представлении образы проектируемого объекта.

Изображение, которое позволяет определять взаимосвязь (взаимопринадлежность) элементов объекта, называютполным.

Изображения, по которым можно определить размеры объекта, называетсяметрически определенными.

Из плоскостных изображений объекта наиболее широкое применение в практике получили рисунки и чертежи.Рисункомназывают изображение предмета от руки и на глаз с кажущимися относительными размерами и положениями отдельных его элементов.Чертежомназывают изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета.

В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне, исследовать предметы и их отдельные детали.

Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций.Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии

Итак, в курсе начертательной геометрии изучаются:

1. методы отображения пространственных объектов на плоскости;

2. способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;

3. приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;

4. способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;

5. основы моделирования геометрических объектов.

 

Виды проецирования.

 

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

Рисунок 1.1. Центральное проецирование

В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точкуS(рис.1.1) в качествецентра проецированияи плоскостьП_i, не проходящая через точкуS, в качествеплоскости проекций( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точкуАна плоскостьП_i, через центр проецированияSпроводят лучSАдо его пересечения с плоскостьюП_iв точкеА_i. ТочкуА_iпринято называтьцентральной проекциейточкиА, а лучSА-проецирующим лучом.

Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированиемточек пространства на плоскость.

В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости П_i  есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точкиDиF).

Точка Fпрямой m принадлежит плоскости ,Ω, проходящей через центр проецированияSи расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий лучSFпараллелен плоскости проекций, а точкаF, как и все точки лежащие в плоскостиΩне имеют центральных проекций наП_i.

Точка D_i проекции прямойm_iне имеет оригинала на прямойm, так как проецирующий лучSD_iпараллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называетсярасширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхностьN (рис. 1.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхностиNи плоскости проекцийП_i.

Рисунок 1.2. Центральное проецирование линии

Рисунок 1.3. Центральное проецирование поверхности

Коническую поверхность Кобразуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис. 1.3). ЛиниюK_iпринято называть в этом случаяочерковой илиочерком данной фигуры.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

Основными и неизменными его свойствами(инвариантами) являются следующие:

                    1)      проекция точки – точка;

                    2)      проекция прямой – прямая;

                    3)      если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Рисунок 1.4. Параллельное проецирование

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецированияS(рис.1.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

1. проекции параллельных прямых параллельны между собой;

2. отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

3. отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, икосоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90⁰.

Таким образом ортогональное(прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называетсяортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла:если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость– восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность– чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность– графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота– изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Лекция №1-2 

 

Проекции с числовыми отметками

В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций Пiназывают плоскостью нулевого уровня и обозначаютП0. Идея этого метода состоит в том, что на плоскость П0ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскостиП0(рис. 1.5). Это расстояние называютчисловой отметкойточки и задают обычно в метрах. Числовую отметку точки пишут внизу справа от обозначения ее изображения. Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом.На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света. Очень удобно в проекциях с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых имеют одинаковые отметки. Линии уровня проецируются на П0без искажения своей формы (применяется в картографии). Проекции с числовыми отметками позволяют просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками очевидна.

Рисунок1.5. Сущность метода с числовыми отметками

Зарождение идеи этого метода относят к средним векам. Уже тогда многие народы, пользующие картами с показаниями морских глубин, умели изображать точку при помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке (французский военный инженер – капитан Нуазе, 1823г.).

Чертежи в проекциях с числовыми отметками построены на одной плоскости проекций – на одной картине и часто называются однокартинными.

Метод  Монжа

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным иликомплексным.Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.

Гаспар Монж крупный французский геометр конца 18, начала 19 веков, 1789-1794 гг. один из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участник работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometriedescriptive".

Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.1.6). Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторуюП2- вертикально.П1- горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны. Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x21. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Рисунок 1.6. Пространственная модель двух плоскостей проекций

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁совмещают вращением вокруг осиx₁₂с плоскостьюП₂ (рис.1.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называетсяэпюром(Франц.Epure– чертеж.).Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Геометрические объекты делятся на: линейные(точка, прямая, плоскость),нелинейные (кривая линия, поверхность) исоставные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.

Лекция №2-1

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

Точка

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка- одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрииточкаобычно принимается за одно из исходных понятий.

В современной математике точкойназывают элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстветочкойназывают упорядоченную совокупность из n- чисел).

 

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 2.1. показана точкаАи ее ортогональные проекцииА₁ иА ₂.

Точку А₁называют горизонтальной проекцией точкиА, точкаА₂- ее фронтальной проекцией.Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x₂₁ и пересекающих эту ось в одной и той же точке А _x.

а) модель		б) эпюр
Рисунок. 2.1. Точка в системе двух плоскостей проекций

Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А₁ иА₂расположенные на прямых, пересекающих ось x₂₁в точке А_x под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁иА₂окажутся расположенными на одном перпендикуляре к осиx₂₁.При этом расстояниеА₁А_x-от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точкиАдо плоскостиП₂, а расстояниеА₂А_x- от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскостиП₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.2. Точки в различных четвертях пространства

 На рисунке 2.2 представлены точки A B C D, расположенные в разных четвертях пространства и  их эпюр (A- в первой четверти,B-во второй,C- в третьей иD- четвертой четверти)

Лекция №2-2

 

Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁иП₂. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекцийП₁П₂и П₃относятся к основным плоскостям проекций.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.3. Точка в системе трех плоскостей проекций

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2.3. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁, иП₂, обозначается буквойП₃и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3. Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x,0yи0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке0. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1иП3вращают, как показано на рисунке 2.4, до совмещения с плоскостьюП2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , yиz (абсцисса, ордината и аппликата).

Рисунок 2.4. Получение эпюра

Таблица 2.1.Знаки координат в октантах

Октант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частноеположение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимаетобщее положение.

Взаимное расположение точек

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:

1.Пусть точки АиВ(рис.2.5) расположены в первой четверти так, что:

- Y_А>Y_В. Тогда точкаАрасположена дальше от плоскостиП₂и ближе к наблюдателю, чем точкаВ

- Z_А>Z_В. Тогда точкаАрасположена дальше от плоскостиП₁и ближе к наблюдателю, чем точкаВ;

- X_А<X_В. Тогда точкаВрасположена дальше от плоскостиП₃и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точкаА;

а) модель		б)эпюр
Рисунок 2.5. Взаимное расположение точек

2.– Y_А=Y_В, то точкиАиВравноудалены от плоскостиП₂и их горизонтальные проекции расположатся на прямойА₁В₁// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельнаяП₂.

– Z_А=Z_В, то точкиАиВравноудалены от плоскостиП₁и их фронтальные проекции расположатся на прямойА₂В₂// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельнаяП₁.

– X_А=X_В, то точкиАиВравноудалены от плоскостиП₃и их горизонтальные и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А₁В₁// yиА₂В₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельнаяП₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называютсяконкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 2.6даны три пары таких точек, у которых:

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.6. Конкурирующие точки

• X_А=X_D;Y_А=Y_D;Z_А>Z_D;

•   X_A=X_C;Z_A=Z_C;Y_A>Y_C;

•   Y_A=Y_B;Z_A=Z_B;X_A>X_B;

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точкиАиD, расположенные на горизонтально проецирующей прямойАD ; фронтально конкурирующие точкиAиCрасположенные на фронтально проецирующей прямойAC;профильно конкурирующиеточкиAиB, расположенные на профильно проецирующей прямойAB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

Лекция №3-1 Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

 

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой  построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Прямая линия в линейной алгебре - линия первого порядка. Общее уравнение прямой:

Ах+Ву+С=0,

где А, В и С - любые постоянные.

 

 

Способы графического задания прямой линии

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками ( а и в ).

Рассмотрим две точки в пространстве АиВ (рис. 3.1). Через эти точки можно провести прямую линию получим отрезок[BA]. Для того чтобы найти проекции этого отрезка на плоскости проекций необходимо найти проекции точекАиВи соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка:

[A₁B₁]<[BA]; [A₂B₂]<[BA;] [A₃B₃]<[BA].

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.1.Определение положения прямой по двум точкам

Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через a- с плоскостьюП₁,b- с плоскостьюП₂,g- с плоскостьюП₃и тогда получим:

½А₁В₁½=½BA½cos a

½A₂B₂½=½AB½cos b

½A₃B₃½=½AB½cos g.

Частный случай ½A₁B₁½=½A₂B₂½=½A₃B₃½при таком соотношении прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы»g=b=a35⁰,при этом каждая из проекций расположена под углом45⁰к соответствующим осям проекций.

2. Двумя плоскостями (;a )b.

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

3. Двумя проекциями.

Пусть в плоскостяхП₁ иП₂даны проекции прямых заданных отрезками[А₁В₁]и[A₂B₂].Проведем через эти прямые плоскостиaиbперпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.3.2а), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком[АВ], проекциями которой являются отрезки[А₁В₁]и[А₂В₂].

	а) aнепараллельноb			б) aиbсовпадают
Рисунок 3.2.Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

Плоскостиaиbмогут слиться в одну плоскостьg, если, например, проекции[А1В1]и[А2В2]перпендикулярны осиxи пересекают ее в одной точке (рис.3.2.б). Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. ТочкаК, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостьюП2. 4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве(рис.3.3).

Рисунок 3.3. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций