Оцінка математичного сподівання.
Вибірковим середнім називають величину:
(1.1)
Вибіркове середнє – це статистична оцінка для математичного сподівання Мx. Зауважимо, що кожне вибіркове значення треба просумувати стільки разів, скільки воно зустрічається у вибірці.
Для згрупової вибірки:
2. Оцінка дисперсії та середнього квадратичного відхилення.
Вибірковою дисперсією називають величину:
(2.1)
Вибіркова дисперсія S2 буде статистичною оцінкою для дисперсії Dx.
Зауважимо, що кожний доданок у формулі
(2.1) треба просумувати стільки разів,
скільки xi
зустрічається у вибірці. В наших
розрахунках
=
4. Тому:
Для згрупованої вибірки величину S2 знаходимо за формулою:
Де fi
- абсолютна частота,
середина і-го інтервалу групування,
- підраховується за згрупованою
вибіркою. В наших розрахунках
=
4.2 Враховуючи табл. 2
маємо:
К
рім
статистики
оцінкою дисперсії є другий вибірковий
центральний момент m2,
(m2=
),
який є зсуненою оцінкою дисперсії.
Для незгрупованої вибірки
m2=
S2=
7.25=6.4
Для згрупованої вибірки
m2= S2=7,1
Вибірковим середнім
квадратичним відхиленням називається
величина S =
.
S являється
статистичною оцінкою для середнього
квадратичного відхилення σx.
Оцінкою для середнього квадратичного
відхилення є також статистика
.
Для незгрупованої вибірки
S =
69,
=
=2.5
Для згрупованої вибірки
2,83,
=
=2.7
3. Оцінка медіани.
Для оцінки med ξ по незгрупованій вибірці (хі) вона впорядковується за зростанням :
х (1) ≤ х (2) ≤ ... ≤ х (n) - це так званий варіаційний ряд. Тоді вибірковою медіаною med називають середній член варіаційного ряду x((n+1)/2) якщо n непарне число, або
(x((n/2) + x((n/2+1))/2 - якщо n парне число. В наших розрахунках
med = x((n+1)/2) = x((9+1)/2) = x(5) = 4.
Графік кумулятивних відносних частот наближує невідому функцію розподілу. Для побудови графіка кумуляти потрібно послідовно з’єднати відрізками прямих точки (xi+1,Fi/), I=1,2,…,k, вважаючи, що при x x1 значення кумуляти дорівнює 0, а при x>xk+1 дорівнює 1.
Для знаходження вибіркової медіани за згрупованою вибіркою треба знайти абсцису перетину прямої y = 0.5 та графіка функції кумулятивних відносних частот. Для даної вибірки графік має вигляд :
Результати всіх наших обчислень занесемо у таблицю 3
(1 – незгрупована вибірка, 2 - згрупована вибірка)
Таблиця 3.
|
s2 |
s |
m2 |
|
med |
||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
4.2 |
7.25 |
8 |
2.69 |
2.83 |
6.4 |
7.1 |
2.5 |
2.7 |
4 |
3.5 |
Розглянемо типовий приклад використання статистичних оцінок в розрахунок.
Приклад. Нехай x – обхват грудей випадково обраної жінки у м. Одеса. Згруповані дані вимірювань обхвату грудей n = 150 жінок в Одесі представлені таблицею.
-
71
74
77
80
83
86
89
92
95
fi
5
9
19
28
36
24
18
8
3
де - середини інтервалів групування, fi – абсолютна частота.
За цими даними слід знайти наближено параметри a = Mx, σ = σx та обчислити процент оптимального випуску жіночих пальто в 44 розмірі для м. Одеси.
Розв’зок. У відповідності з формулами (1.2), (2.2)
σ2
Так само, як і в лабораторній роботі № 1 маємо
А далі в ці формули замість невідомих а і σ підставляються їх оцінки (наближення). Маємо
Тобто оптимальний випуск жіночих пальто в 44 розмірі для м. Одеса складає 18%.