Завдання №1. Розрахунок розмірного асортименту за допомогою нормального розподілу .

Мета роботи: Навчитися обчислювати розмірний асортимент випущеної продукції з використанням нормального розподілу ймовірностей.

Теоретичні відомості. Приклади.

Випадкова величина  – це змінна величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від результату випадкового експерименту. Функцією розподілу випадкової величини називається функція F(x) , яка в точці x дорівнює ймовірності того, що в результаті випробування випадкова величина приймає значення менше х ,тобто F(x) =P{ < X}.

Властивості функції розподілу ймовірностей .

1. Функция F(x) визначена на всій числовій прямій .

2. Значення функції розподілу належать відрізку [0; 1] , тобто 0 F(x) 1.

3. Функція розподілу не спадає ,тобто якщо х1<х2

(х1 R, х2 R), то F(х1) F(х2).

4. Ймовірність того , що в результаті випробувань значення випадкової величини попадає в інтервал обчислюється за формулою

5. lim F(x) =1 та lim F(x)=0 при x → +∞ та x → -∞ відповідно.

Випадкова величина називається неперервною¸ якщо неперервна функція F(x). А якщо , де f(t) 0, то функция F(x) називається абсолютно неперервною, а

функція - щільністю розподілу випадкової величини .

Властивості щільності розподілу ймовірностей .

1. Щільність розподілу невід’ємна , тобто і

.

2. Якщо функція F(x) диференційовна в точці ,то

3. Функція розподілу в точці дорівнює інтегралу від щільністі розподілу в межах від до тобто

4. Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал ( )дорівнює інтегралу від щільністю розподілу, взятому в межах від до :

<

Графічно це означає, що ймовірність попадання випадкової величини в інтервал ( ) дорівнює площі криволінійної трапеції на интервалі (а,b) (див.рис.1).

Математичним сподіванням (або середнім значенням) абсолютно неперервної випадкової величини називається число

де - щільністю розподілу випадкової величини .

Дисперсією абсолютно неперервної випадкової величини називають математичне сподівання квадрату її відхилення від математичного сподівання :

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини визначається рівністю

Математичне сподівання випадкової величини показує деяке середнє значення, навколо якого вона коливається, у той час як дисперсія та середнє квадратичне відхилення характеризують ступінь розсіювання випадкової величини відносно її середнього значення . Чим більше дисперсія ,тем сильніше відхиляються значення випадкової величини від її середнього значення.

Основним розподілом теоріїї ймовірностей є нормальний розподіл. Дамо його означення. Нормальним називають розподіл ймовірностей випадкової величини, який описюється щільністю :

Нормальний розподіл визначається параметрами і . Ймовірносний зміст цих параметрів наступний: математичне сподівання , середнє квадратичне відхилення заданої випадкової величини .

Щільність і функцію розподілу нормального розподілу з параметрами и будем позначати відповілно і

Графік щільності нормального розподілу з параметрами и показаний на Рис.2.

З ростом максимальна ордината нормальної кривої спадає , а сама крива стає більш пологою , тобто притискується до осі ;при зменшенні нормальна крива стає більш “гостровершинною “ і витягується в додатньому напрямку осі .(Рис.3)

Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами a=0, =1,

Неважко перевірити , що (1)

Функцію називають стандартною функцію нормального розподілу (іноді інтегралом ймовірностей). Окрім функції в обчисленнях часто використовується так звана функція Лапласа . Відзначимо наступні

Властивості функції Лапласа :

а)

б)

в)

г)

д) , при х>4.

Таблиці функції Лапласа або є практично у всіх підручниках по теорії ймовірностей(див. табл. D4 дотатку).

Використовуючи формулу (1) та властивість г) , можна одержати формулу для обчислення ймовірності попадання значень випадкової величини , розподіленої за нормальним законом с параметрами і , в интервал [ ] :

Приклад 1. Знайти ймовірність попадання значень нормальної випадкової величини з параметрами і в інтервал [-1;2]

(значення функції Лапласа Ф(х) можна взяти із таблиці D4 додатку).

Приклад 2. Нехай треба розрахувати розмірний асортимент для пошиву одягу за умови, що розміри обхвату грудей описуються нормальним законом з параметрами: середнє значення а= 82.3, середнє квадратичне відхилення .

Розрахувати розмірний асортимент одягу – це означає визначити який процент від усього випуску одягу необхідно пошити 20, 22, ...., 60, 62-го розмірів . В подальших розрахунках обмежимося лише тими размірами , які знаходяться поблизу середнього розміру (3 менше середнього, 3 більше середнього и сам “середній “розмір ) .

Розмір необхідного одягу – це число, яке наближено дорівнює напівобхвату грудей . На кожний розмір задаєтся допуск 2cм. Це означає, наприклад, що розміру №50 відповідає інтервал обхвату грудей від 100 – 2 = 98 до 100+2 = 102 (см), а розміру №42

відповідає інтервал обхвату грудей від 82 см до 86 см (42*2 – 2 = 84 – 2 = 82, 42*2 + 2 = 84 + 2 = 86) . Таким чином, для визначення розмірного асортименту для розміру №42 необхідно підрахувати , яка частина населення має обхват грудей від 82 до 86 см, для розміру №44 – від 86 до 90 см і т.д. Для підрахунку частини населення з обхватом грудей від 82 до 86 см необхідно знайти число що і дасть потрібний результат. Очевидно , що середній обхват грудей 82.3 у даному прикладі відповідає розміру №42 і в наших розрахунках обмежимося розмірами від №36 до №48.

Розмір №36

=0,4998-0,4927=0,0071 .

Розмір №38

Розмір №40

Розмір №42

0,39

Розмір №44

Розмір №46

Розмір №48

Результати обчислень занесемо в таблицю.

Розмір	№36	№38	№40	№42	№44	№46	№48
Процент виробів	0,7	10	36	39	13	1	0,3

Звертаємо увагу, що сума усіх процентів близька до 100%.

Приклад 3. Розглянемо задачу знаходження проценту незадоволеного попиту населення в одязі за умови нормального расподілу размірних ознак .

Припустимо , що в деякому районі при проведенні антропометричних досліджень знайдені помилкові значення середнього показника обхвату грудей ( в см) та середнього квадратичного відхилення ( в см). Реальні значення показників для цього району складають - та відповідно. Таким чином, в районі виявиться нестача одягу одних розмірів і надлишок других . Визначимо, яка частина населення не отримає одягу і яка частина одягу не знайде свого покупця, якщо кількість виробів точно дорівнює населенню району, тобто визначимо процент незадоволення, який позначимо та процент затоварювання, який позначаємо . Зрозуміло , що

Характеристики обхвату грудей будуть нормальними випадковими величинами , з щільностями розподілу

- для параметрів ( ) ;

- для параметрів ( ).

На рис.4 побудовані графики цих щільностей за умови .

Площа заштрихованного участку світлого кольору і знайдена в процентах, дорівнює числу . Площа участку темного кольору (пл. ) виражена в процентах чисельно дорівнює і може бути знайдена за формулою

пл. пл. - пл. (2)

Знайдемо відповідні ймовірності :

Абсциси и точок і знаходимо, прирівнюючи щільності:

Формула (2) була виведена в припущенні > При < формула (2) дає правильну відповідь, але з протилежним знаком. Тому в загальному випадку формула має вигляд

(3)

Розглянемо розв’язок даної задачі при та

(

Скоротивши на і прологарифмувавши , одержуємо

178+16( -95) =25(

Розв’язуємо останнє рівняння і одержуємо

Підставляючи ці значення у формулу (3) маємо

Приклад 4. Необхідно розрахувати розмірний асортимент жіночого взуття для Луганської області. Середнє значеня довжини ступні X=240.2 , середнє квадратичне відхилення .

Розрахувати розмірний асортимент взуття – це означає визначити , який процент від усього випуску взуття треба виготовити 33 , 34 , … , 40.5 , 41 , 42 , … розмірів. При цьому використовуються як штихмасова система , так і метрична .

В метричній системі нумерації суміжні типорозміри взуття , які відповідають довжині ступні в мм , відрізняються по довжині на 5 мм (див. табл. 1.). Однак взуття , виготовлене для типової ступні , буде зручним і для людей , розміри ступні яких відхиляються від типових на мм. Так люди , які мають довжину ступні 238 , 241 , 242 мм можуть носити взуття 240 розміру. Таким чином , для визначення розмірного асортименту по розміру 240 необхідно обчислити , яка частина населення має довжину ступні від 237.5 до 242.5 мм. Інтервал називається інтервалом байдужості для розміру №37,5 Для цього треба знати ймовірність

P₂₄₀ = P(237.5 ξ 242.5) ,

а переведення числа Р₂₄₀ в проценти і дасть потрібний результат.

За умовою , середня довжина ступні для нашого прикладу 240 мм , що відповідає 37.5 розміру за штихмасовою системою. Для розрахунків вибираемо розміри від 210 до 270 ( або від 33 до 42 )

Наведемо приклади таких розрахунків. При цьому обмежимося лише тими розмірами , які знаходяться поблизу середнього розміру (3 розміри менше середнього та 3 - більше середнього і сам “середній”розмір).

Розмір №35

Розмір №36

Розмір №37

Розмір № 37.5

Розмір № 38

Розмір № 39

Розмір № 40

Результати обчислень занесемо в наступну таблицю.

Таблиця 1.

штихн	мм	%
33	210	0.39
34	215	1.27
34.5	220	3.26
35	225	6.85
36	230	12
37	235	16.2
37.5	240	18.1
38	245	16.68
39	250	12.29
40	255	7.29
40.5	260	3.52
41	265	1.39
42	270	0.43

Розглянемо задачу оцінки проценту незадоволеного попиту населення у взутті за умови нормального розподілу розмірів.

Припустимо , що партія взуття випущена для району із значеннями середнього показника довжини стопи X₁ і середнього квадратичного відхилення ₁ , була помилково завезена до другого району із фактичними значеннями цих показників Х₂ та ₂ . Параметри (х₁, ₁) визначають пропозицію, в той час коли (х₂, ₂) – попит населення у взутті.

Таким чином , у цьому районі буде мати місце нестача взуття одних розмірів і надлишок інших.

Визначимо , яка частина взуття не знайде свого покупця за умови , що кількість виробів точно відповідає населенню району , тобто визначено процент незадоволеного попиту , який позначено Р_н і процент затоварювання Р_з . Зрозуміло , що Р_н=Р_з .

Довжина ступні випадково обраної людини буде випадковою величиною , яка має наближено нормальний розподіл з кількістю розподілу f (x):

для 1 району ( випуск ) з параметрами X₁ , ₁

₁ : f₁ (x)= e ^- ;

для 2 району (фактичні потреби) з параметрами Х₂ ,

Графіки функцій f₁ (x) та f₂ (x) наведені на рис.4. Величини Р_н , Р_з обчислюються аналогічно попередньому прикладу за формулами (2), (3). Абсциси Х_А і Х_В точок А і В знаходимо із рівняння :

f₁ (x) = f₂(x)

Розглянемо розв’язок даної задачі у випадку коли партія чоловічих кросовок , виготовлених для Естонії (параметри випуску Х₁=268.5 мм , =12.4 мм ) , попадає в Бурят-Монгольський край Росії , населення якого має середню дожину стопи Х=251.3 мм і =10.2 мм

Маємо

f₁(x)=f₂(x) (5)

де f₁(x)= , f₂(x)=

Скоротивши в (5) на і прологарифмувавши праву і ліву частини (5) , одержуємо :

0.195=

Розкриваючи дужки та розв’язуючи квадратне рівняння одержуємо:

x_A=260.476 , x_B=170.141 .

P_H=P_З=

=0.5577 100 %=55.77 % .

Відзначимо, що таблиця розмірного асортименту взуття в даному випадку, враховуючи попит та пропозицію, набуває вигляду

Таблиця: пропозиція - попит

Розміри	40	40,5	41	42	43	43,5	44
Інтервал байдужості	252,5 - 257,5	257,5 - 262,5	262,5 - 267,5	267,5 - 272,5	272,5 - 277,5	277,5 - 282,5	282,5 - 287,5
Пропозиція	6%	9%	16%	21%	15%	10%	6%
Попит	24%	14%	10%	4%	1%	0%	0%
Різниця "пропозиція - попит"	-18%	-5%	6%	17%	14%	10%	6%

Центральний розмір в таблиці відповідає середньому розміру довжини стопи для пропозиції. При підрахунках обмежимося трьома розмірами ліворуч та праворуч від середнього розміру.