2. Схемы упаковки сферических частиц:

а — ромбовидная; б— минимально плотная (свободная)

В соответствии с физическими представлениями зависимости коэффициента трения Сен-Венана f от несимметричности частиц S сила трения непрерывна и дифференцируема. Поэтому ее мож­но линеаризовать и приближенно представить в виде

f=f₀ + a(S - 1), (2)

где а — постоянная; f₀ — значение коэффициента трения при S = 1, т. е. для сфе­рических частиц.

На коэффициент трения в сыпучей среде существенно влияет ее дисперсность. При повышении дисперсности (измельчении частиц среды) возрастает роль адгезионных сил по сравнению с массовыми силами, превалирующими в крупнодисперсной сре­де. Это явление известно и объясняется изменением соотноше­ния массовых и поверхностных сил, действующих на частицу, что связано с изменением соотношения их объема и площади поверхности.

Массовая сила R_m (H), или сила тяжести, связана с объемом V и плотностью ρ выражением

R_m=αρgV, (3)

где α — феноменологический коэффициент, связывающий массу частиц с массо­вой силой, действующей на нее; g —ускорение свободного падения, м/с².

Если из всех массовых сил в задаче учитывается только сила тяжести, то α=1. Для сферических частиц радиусом r имеем V = 4/3πr³ , и тогда массовая сила (Н)

R_m=4/3απρgr³. (4)

Адгезионная сила, удерживающая частицы вблизи друг от дру­га, определяется выражением

R_a=aF_m=4aπr², (5)

где а — удельная сила адгезии, или сила сцепления, приходящаяся на единицу площади F_m поверхности частиц, Н/м².

Удельные силы адгезии в мелкодисперсной среде определяют­ся в основном шероховатостью поверхностей и кривизной частиц, а также поверхностным натяжением среды на границе соприкос­новения частиц.

С учетом изложенного отношение β адгезионной и массовой сил, действующих на частицу, выразится формулой

(6)

Здесь коэффициент с (м)

Отношение (6) изменяется по гиперболическому закону с изменением размера частиц (d = 2r) и с точностью до постоянной не зависит от их формы, так как при любой форме площадь повер­хности и объем частиц соотносятся как A/d, где А — постоянная, зависящая от формы частиц, d— характерный размер частиц.

Если в соответствии с экспериментальными данными для пыли, которую мы приближенно отождествим с измельченными частицами зерна, принять следующие значения оцениваемых сил: R_a ≈ 0,7 ∙ 10^-8 Н и R_m≈ 0,17 ∙ 10^-8 Н при r = 25 мкм, получим следу­ющие значения: β > 10 при r< 10 мкм и β < 0,1 при r> 1 мм.

Это свидетельствует о том, что при достаточно крупных разме­рах частиц, т. е. при r > 1 мм, адгезионные силы на порядок мень­ше массовых и в расчетах ими можно пренебрегать. В противопо­ложном случае, т. е. при r < 10 мкм, адгезионные силы на порядок больше массовых и в расчетах можно пренебрегать уже массовыми силами.

При характерных размерах частиц 0,01 < r < 1мм существует переходная область размеров частиц, по разные стороны от кото­рой их свойства существенно различаются из-за относительного изменения влияния адгезионных сил при изменении размеров ча­стиц. В частности, малая частица, витая в воздушных течениях, почти одинаково хорошо сцепляется как с полом, так и с потол­ком или стенами помещения, чего с более крупными частицами не происходит — они осаждаются только на полу.

Важная характеристика насыпных структур — угол откоса сво­бодных границ среды. Угол откоса, или угол скольжения α, зави­сит от формы частиц 5 и не зависит от плотности их упаковки. На откосе частицы естественным образом укладываются по предель­но плотному варианту упаковки, скатываясь по откосу вниз. В ча­стности, для сферических частиц при малом коэффициенте тре­ния f₀ угол α = 60°, что следует из геометрических построений. Уд­линенные и чешуйчатые частицы не могут образовать структур, изображенных на рис. 2. Угол скольжения в такой среде образу­ется под действием первой составляющей сил трения. Коэффици­ент трения частиц существенно зависит от параметров среды, в частности от их влажности, электрического заряда и др.