1. Построение эконометрической модели производительности труда

Введем обозначения: Y – зависимая переменная, результативный признак – производительность труда; Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ – независимые переменные (объясняющие переменные, факторы), где Х₁ – фондовооруженность труда, Х₂ – коэффициент текучести рабочей силы, Х₃ – потери рабочего времени, Х₄ – стаж работы.

Модель производительности труда можно представить в следующем виде:

1. линейная функция Y = ₀ + ₁X₁ + ₂X₂ + ₃X₃ + ₄X₄ + ;

2. степенная функция ,

где  - стохастическая составляющая, учитывающая влияние случайных факторов на уровень производительности труда; _j – параметры модели.

Соответственно расчетные по выборочной совокупности функции будут иметь вид:

1. = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + b₄X₄ ;

2. ,

здесь b_j – оценки параметров модели (j = 1,2,3,4).

Основываясь на 20 наблюдениях, представленных в табл.1, построим линейную модель методом наименьших квадратов (МНК- модель).

Построение линейной эконометрической модели на основе матричного оператора 1МНК, пакет Excel.

Матричный оператор 1МНК имеет вид , где

,

- транспонированная матрица Х.

Для транспонирования матрицы Х выполните следующие действия:

1. выделите область пустых ячеек, состоящую из (р+1) = 5 строк и n = 20 столбцов для вывода результата, здесь р – количество независимых переменных, n – количество наблюдений;

2. активизируйте Мастер функций любым из способов:

1. в главном меню выберите Вставка/Функция;

2. на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

3. в раскрывшемся окне выберите Категорию Ссылки и массивы, Функцию – ТРАНСП (рис.1). Щелкните по кнопке ОК;

4. в строке Массив появившегося окна укажите диапазон ячеек, в которых содержится матрица Х. Щелкните по кнопке ОК;

Рис. 6.1

5. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Результат:

.

Произведение матриц (X'X) находим с помощью Мастера функций, используя Категорию Математические, функцию МУМНОЖ:

1. выделите область пустых ячеек, состоящую из (р+1) = 5 строк и (р+1) = 5 столбцов для вывода результата;

2. в окне МУМНОЖ в строке Массив 1 укажите диапазон ячеек, в которых содержится матрица X' (первый сомножитель), а в строке Массив 2 – матрица Х (второй сомножитель). Щелкните по кнопке ОК;

3. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Результат умножения матриц:

		20	1525	139,9	77,4		221
		1525	117509	10331	5995,4		17335
	(X'X) =	139,9	10331	1186,95	498,74		1307,7
		77,4	5995,4	498,74	310,36		909,8
		221	17335	1307,7	909,8		2756,5
Аналогично найдем с помощью функции МОБР обратную матрицу:
		15,5851	-0,0545	-0,5706		-1,6119		-0,104
		-0,0545	0,00282	-0,0042		-0,0244		-0,0033
	(X'X)-1 =	-0,5706	-0,0042	0,04402		0,07434		0,02697
		-1,6119	-0,0244	0,07434		0,98119		-0,0763
		-0,104	-0,0033	0,02697		-0,0763		0,04194
		1198						56,9124
		92121						0,3375
	(X'Y) =	8003,2		B =(X'X)-1		(X'Y) =		-1,8406
		4716,5						-2,2722
		13685						-0,0976

Таким образом, получили эконометрическую модель:

= 56,912 + 0,338Х₁ – 1,841Х₂ – 2,272Х₃ – 0,098Х₄.

Подставив в модель исходные значения Х_ij (i = 1,2,…,20; j = 1,2,3,4), получим расчетные значения . Разность между фактическими и расчетными значениями результирующего показателя представляет собой остатки (е_i ), являющиеся оценками значений возмущения.

		50,6616			1,33836			1,79122
		51,9809			1,01908			1,03852
		51,8206			-1,8206			3,31455
		53,4467			-2,4467			5,98621
		53,9931			0,00686			4,7E-05
		54,6805			0,31949			0,10207
		55,1784			1,82157			3,31813
		53,5887			-1,5887			2,52395
		57,0558			2,94423			8,66847
	=	61,6085		e =	-1,6085		е2 =	2,58722
		63,6903			-1,6903			2,85696
		63,5094			0,49061			0,2407
		63,3813			1,61865			2,62003
		65,5109			1,4891			2,21743
		64,9954			2,00462			4,01849
		65,2103			-3,2103			10,3061
		64,5605			-1,5605			2,4353
		66,1197			-0,1197			0,01434
		66,9538			1,04619			1,09451
		70,0535			-0,0535			0,00286
							Сумма	55,1371

Найдем стандартную ошибку остатков (модели) по формуле:

Определим стандартные ошибки оценок параметров модели:

где – диагональные элементы матрицы (Х’X)^-1.

, ,

, ,

.

Для проверки статистической надежности (значимости) оценок параметров модели найдем величину t-статистики, используя формулу:

.

, , ,

, .

Построение эконометрической модели с использованием стандартной программы

«ЛИНЕЙН»:

Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет коэффициенты линейной регрессии:

= b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + … + b_рX_р.

Порядок вычислений следующий:

1. введите исходные данные;

2. выделите область пустых ячеек, состоящую из 5 строк и (р + 1) столбцов (где р – количество независимых переменных) для вывода результатов регрессионной статистики;

3. активизируйте Мастер функций любым из способов:

1. в главном меню выберите Вставка/Функция;

2. на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции f_x

4. в раскрывшемся окне выберите Категорию Статистические, Функцию – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5. заполните аргументы функции (рис. 2):

• Известные значения У – диапазон, содержащий данные, характеризующие результативный признак;

• Известные значения Х – диапазон, содержащий данные, описывающие все независимые переменные;

• Константа – логическое значение, указывающее на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член = 0;

• Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения. Щелкните по кнопке ОК;

6. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Рис. 6.2. Мастер функций. Работа с функцией ЛИНЕЙН

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в следующем виде (табл. 6.2):

Таблица 6.2

Значение bр	Значение bр-1	. . .	Значение b2	Значение b1	Значение b0
Стандартная ошибка оценки bр ( )	Стандартная ошибка оценки bр-1 ( )	. . .	Стандартная ошибка оценки b2 ( )	Стандартная ошибка оцен-ки b1 ( )	Стандартная ошибка оцен-ки b0 ( )
Коэффициент детерминации R2	Стандартная ошибка модели (остатков)	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
F-статистика	Число степеней свободы n-(p+1)	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Функция ЛИНЕЙН используется и для расчета оценок параметров моделей, которые с помощью преобразования могут быть сведены к линейному виду. Например, степенная функция путем логарифмирования превращается в линейную по параметрам функцию:

ln = lnb₀ + b₁ lnX₁ + b₂ ln X₂ + b₃ lnX₃ + b₄ lnX₄,

или Z = A + b₁z₁ + b₂z₂ + b₃z₃ + b₄z₄,

где Z = ln , z_j = lnX_j ( j = 1,2,3,4); А = lnb₀, т.е. b₀ = exp(A) = e^A, где е – основание натурального логарифма.

Из способа преобразования видно, что для вычисления коэффициентов степенной функции с помощью ЛИНЕЙН следует в строки Известные значения У и Известные значения Х окна рассматриваемой функции вводить логарифмы исходных значений У и Х.

Для рассматриваемого примера (модель производительности труда) результат применения функции ЛИНЕЙН выглядит следующим образом:

Линейная модель

-0,09758	-2,27216	-1,8406	0,33749665	56,91243
0,392655	1,899119	0,402268	0,10189618	7,568861
0,929654	1,917239	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
49,55804	15	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
728,6629	55,13708	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Степенная модель
0,054165	-0,12441	-0,19206	0,197562	3,625281
0,06836	0,126229	0,057959	0,12589694	0,627738
0,9251	0,033461	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
46,31687	15	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
0,207431	0,016794	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

b₀ = exp(3,625281) = e^3,625281 = 37,5353.

Таким образом, получили следующие уравнения:

= 56,912 + 0,338Х₁ – 1,841Х₂ – 2,271Х₃ – 0,098Х₄;

= 37,5353 X₁^0,198 X₂^-0,192 X₃^-0,124 X₄^0,0541.

Однако следует иметь в виду, что статистические характеристики степенной модели определены через логарифмы, и поэтому прямо использовать их для сравнения с соответствующими характеристиками линейной модели (например, с целью выбора лучшей модели) нельзя. Необходимо привести их в сопоставимый вид. Это касается всех функций, при преобразовании которых к линейному виду изменялась (преобразовывалась) зависимая переменная Y.

С учетом пересчета, который выполняется с применением соответствующих формул (3), (5), для степенной функции получили:

R²= 0,9242; S_e = 1,9906.

Построение эконометрической модели с помощью инструмента Анализа

Данных / Регрессия

Порядок действий:

1. проверьте доступ к Пакету анализа. При его отсутствии в главном меню выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок Пакет анализа. Щелкните по кнопке ОК;

2. в главном меню выберите Сервис/Анализ данных /Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

3. заполните диалоговое окно ввода данных (фактических значений всех показателей, если рассчитываются оценки параметров линейной модели, и логарифмы фактических значений, если речь идет о степенной функции) и параметров вывода (рис.3):

• Входной интервал У – диапазон, содержащий данные результативного признака ;

• Входной интервал Х – диапазон, содержащий данные независимых переменных;

• Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка название столбцов или нет;

Рис.6.3

• Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

• Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

• Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Результаты регрессионного анализа для линейной модели ПТ (табл.63):

Таблица 3.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,96418574
R-квадрат	0,92965414
Нормированный R-квадрат	0,91089525
Стандартная ошибка	1,91723904
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
Источники вариации	df	SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	4	728,6629171		182,1657		49,558	1,8E-08
Остаток	15	55,1370829		3,675806
Итого	19	783,8
Оценки параметров модели и их значимость
	Коэффициенты	Станд.ошиб- ка		t-стат.		P-Значение.	Нижн.95%	Верх.95%
Y-пересечение	56,9124321	7,568860683		7,519287		1,8E-06	40,77978	73,04509
Переменная X 1	0,33749665	0,101896176		3,312162		0,00474	0,12031	0,554683
Переменная X 2	-1,8406011	0,402267501		-4,57557		0,00036	-2,69801	-0,98319
Переменная X 3	-2,2721556	1,899118933		-1,19643		0,2501	-6,32003	1,775723
Переменная X 4	-0,0975842	0,392655308		-0,24852		0,8071	-0,93451	0,739341
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказан-ное Y		Остатки
1	50,6616359		1,338364147
2	51,9809221		1,019077932
3	51,8205903		-1,820590278
4	53,4466727		-2,446672748
5	53,9931396		0,006860385
6	54,6805111		0,319488857
7	55,1784278		1,821572197
8	53,5886938		-1,58869375
9	57,0557729		2,944227141
10	61,6084835		-1,608483531
11	63,6902557		-1,690255734
12	63,5093919		0,490608139
13	63,3813492		1,618650827
14	65,5108967		1,489103278
15	64,9953835		2,004616485
16	65,2103091		-3,210309068
17	64,5605446		-1,560544572
18	66,1197433		-0,119743273
19	66,9538098		1,046190244
20	70,0534667		-0,053466676

Результаты расчетов по этой программе дают наибольшее количество характеристик взаимосвязи. Рассмотрим эти характеристики подробнее.

Регрессионная статистика

1. R = 0,9642 – коэффициент корреляции;

2. R² = 0,9296 – не скорректированный коэффициент детерминации (без учета числа степеней свободы) оценивает долю вариации результата за счет введенных в модель факторов в общей вариации Y. Здесь эта доля составляет 92,96% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на очень тесную связь факторов и результата.

3. = 0,9109 – скорректированный коэффициент детерминации определяет тесноту связи с учетом числа степеней свободы общей и остаточной дисперсии. Он дает оценку, не зависящую от количества независимых переменных (факторов) модели, и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным количеством факторов. Связь между не скорректированным и скорректированным коэффициентами детерминации определяется по формуле:

.

Оба коэффициента (R², ) указывают на весьма высокую (более 91%) детерминированность результата Y в модели факторами Х₁, Х₂, Х₃, Х₄.

4. s_e = 1,9172 – стандартная ошибка остатков;

5. n = 20 – количество наблюдений.

Дисперсионный анализ включает пять столбцов:

1. (df ) – степени свободы, т.е. число свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней оценок. Для условий рассматриваемого примера число степеней свободы:

для регрессии р = 4; для остатка n – (р + 1) = 20 – (4 + 1) = 15; общее n – 1 = 20 – 1 = 19;

2. (SS) – суммы квадратов отклонений:

- регрессии (объясненная);

- остаточная (не объясненная);

- общая (зависимой переменной);

3. (MS) – дисперсия на одну степень свободы:

- регрессий (объясненная);

- остатков (не объясненная);

4. (F) – фактическое значение F-критерия:

= 49,558;

5. (Значимость F) – уровень значимости F-критерия  = 1,8E-08 = 0,00000018.

Коэффициент детерминации R² равен 0,9296, что указывает на сильную зависимость между независимыми переменными и производительностью труда. Можно использовать F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат (с таким высоким значение R²) случайным. Величина  применяется для обозначения вероятности ошибочного вывода о том, что имеется сильная взаимозависимость.

Предположим, что на самом деле нет взаимосвязи между переменными, а просто были выбраны редкие 20 наблюдений, для которых статистический анализ вывел сильную взаимозависимость.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает F-критерий Фишера. Его расчетное (фактическое) значение F = 49,558 сравнивается с табличным, которое при уровне значимости  = 5% и при числе степеней свободы v₁ = р = 4, v₂ = n-(р+1) = 15 составляет 3,06. Если фактическое значение превышает табличное, то с вероятностью 0,95 гипотеза о ненадежности уравнения отвергается и утверждается статистическая значимость модели и коэффициента детерминации. Или, что то же самое, из таблицы дисперсионного анализа следует, что вероятность случайно получить такое значение F-критерия (F = 49,558) составляет Р = 0,00000018, что не превышает допустимый уровень значимости 5% (величину  = 0,05). Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть, подтверждается статистическая значимость всей модели и коэффициента детерминации.

Оценки параметров модели и их значимость

Этот блок результатов содержит 9 столбцов.

Первый и второй – название и величина оценок параметров модели:

Y – пересечение – b₀ = 56,9124321; переменная Х₁ – b₁ = 0,33749665;

переменная Х₂ – b₂ = -1,8406011; переменная Х₃ – b₃ = -2,2721556;

переменная Х₄ – b₄ = -0,0975842.

Таким образом, получена модель:

= 56,912 + 0,338Х₁ – 1,841Х₂ – 2,272Х₃ – 0,098Х₄.

Величины b_j (j = 1,2,3,4) показывают, насколько изменится результат с увеличением значения некоторого фактора на единицу и при неизменной величине остальных факторов. Так, увеличение Х₁ (фондовооруженность труда) на 1 тыс.грн/чел. при прочих равных условиях будет способствовать росту производительности труда на 0,338 (тыс.грн./чел.-ч)/(тыс.грн/чел). Если же Х₂ (коэффициент текучести кадров) увеличится на 1%, а другие факторы не изменятся, то величина производительности труда уменьшится на 1,841(тыс.грн./чел.-ч)/%. Рост Х₃ (потери рабочего времени) на единицу (1%) также отрицательно воздействует на производительность труда: уменьшает ее на 2,271(тыс.грн./чел.-ч)/% при прочих равных условиях.

Направленность воздействия первых трех из рассмотренных факторов на производительность труда не противоречит экономическому смыслу, тогда как влияние четвертого фактора – стаж работы – вызывает сомнение: казалось бы, чем дольше человек работает, тем лучше у него навыки и тем выше производительность; а b₄ = -0,0975842 показывает, что увеличение стажа на 1 год, хотя и незначительно, снижает уровень производительности труда.

Сравнивать силу влияния отдельных факторов на величину результирующего показателя, сопоставляя коэффициенты, не следует, так как эти коэффициенты зависят от единиц измерения каждого показателя. С целью выявления наиболее влияющих показателей необходимо перейти к уравнению в стандартизованном масштабе, в котором в качестве единицы измерения влияния всех факторов выступает среднее квадратичное отклонение.

Третий столбец содержит стандартные ошибки оценок параметров модели:

= 7,568886; = 0,101896; = 0,402267; = 1,899119; =0,392655.

Они показывают, какая доля значения данной характеристики сформировалась под влиянием случайных факторов. Эти величины (см.(7)) используются для расчета t-критерия Стьюдента, значения которого для различных оценок представлены в четвертом столбце.

Четвертый столбец – t-критерий:

t₀ = 7,519287; t₁ = 3,312162; t₂ = -4,57557; t₃ = -1,19643; t₄ = -0,24852.

Если значения t-критерия больше 2–3, то можно сделать вывод о существенности данного параметра, который формируется под воздействием неслучайных величин. Для более обоснованных выводов используем результаты, находящиеся в пятом столбце.

Пятый столбец – уровень значимости – показатель вероятности случайных значений параметров регрессии:

₀ = 0,0000018; ₁ = 0,00474; ₂ = 0,00036; ₃ = 0,2501; ₄ = 0,8071.

Если _j меньше принятого нами уровня (обычно 0,1; 0,05 или 0,01; это соответствует 10%, 5% или 1% вероятности), то делают вывод о неслучайной природе данного значения оценки, т.е. о том, что оценки параметров достоверны (статистически значимы). В противном случае принимается гипотеза о случайной природе значения коэффициента регрессии.

Поскольку ₃ = 0,2501 и ₄ = 0,8071 больше 0,005, то делаем вывод, что соответствующие оценки b₃ и b₄ – недостоверны. Это позволяет рассматривать факторы Х₃ и Х₄ как неинформативные и ставить под сомнение необходимость включения их в модель.

Возникшее противоречие (F-критерий утверждает достоверность модели в целом, а t-критерий – недостоверность отдельных оценок) обычно определяется существующей между независимыми переменными мультиколлинеарностью.

Оставшиеся четыре столбца с вероятностью 0,95 определяют верхние и нижние границы оценок параметров модели, т.е. позволяют осуществить интервальное оценивание параметров. (Поскольку находящиеся в этих столбцах величины повторяют друг друга, то здесь приведены только 6 и 7 столбцы).

Интервальное оценивание параметра модели _j выполняется следующим образом:

b_j   t _ , или b_j -  t _  _j  b_j +  t _.

Так, например, для ₀ :

для  = 5% и 20 – 5 = 15 степеней свободы табличное значение (двустороннее) t _ = 2,13,

тогда  t _ = 7,568886  2,131 = 16,1293;

56,9124321 – 16,1293  ₀  56,9124321+ 16,1293; 40,78  ₀  73,04;

0,12031  ₁  0,554683; -2,69801 ₂  -0,98319;

-6,32003  ₃  1,775723; -0,93451  ₄  0,739341.

Таким образом, с вероятностью 0,95, увеличение фондовооруженности труда на одну единицу обеспечит прирост производительности труда не ниже 0,12031 и не выше 0,554683 тыс.грн./чел.-ч. Аналогично интерпретируются остальные доверительные интервалы.

Доверительные интервалы для третьего и четвертого параметров включают нулевое значение, что еще раз подтверждает сделанный ранее вывод о недостоверности их оценок.

Вывод остатков

В этом блоке результатов приводятся расчетные значения зависимой переменной и остатки, которые определяются как разность между фактическими значениями зависимой переменной и расчетными.

Программа Анализ данных/Регрессия позволяет вывести и графики «подбора», т.е. зависимости результативного признака от каждого из факторов, а также графики остатков для парных зависимостей. Для вывода графиков следует в окне Регрессия поставить соответствующие флажки.