Лабораторне завдання

За даними лабораторної роботи №3 провести аналіз схеми на рис. 2.1, використовуючи математичну модель (2.7), складену по методу вузлових потенціалів. Аналіз здійснити на частоті Гц.

1. Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| матричного рівняння (2.7) виконати різними способами:

- за допомогою функції lsolve| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних рівнянь алгебри;

- методом LU-розкладання;

- за допомогою зворотної матриці|матриця|.

2. По співвідношеннях (2.3) – (2.5) знайти напругу|напруження| і струми|тік| на елементах схеми.

3. Обчислити|обчисляти,вичислити| коефіцієнт передачі|передача| схеми по струму|тік|

,

де J₁ – струм|тік| на вході схеми, - струм|тік| в резисторі R_k.

4 Обчислити|обчисляти,вичислити| коефіцієнт передачі|передача| схеми по напрузі

,

де – напруга|напруження| на вході схеми, - напруга|напруження| на резисторі R_k.

Зміст|вміст,утримання| звіту

1. Короткі теоретичні відомості, розрахункові формули, досліджувані схеми.

2. Значення елементів|роздруківка,роздрукування| матриці|матриця| , вектора , вектора вузлових потенціалів φ на частоті Гц.

3. Значення елементів|роздруківка,роздрукування| векторів , , , що відповідають |із| напругам|напруження| і струмам|тік| в елементах схеми.

4. Значення К_u, K_i.

5. Перевірка закону Кирхгофа для струмів|тік| в вузлах схеми.

6. Короткі висновки|висновок,виведення| по роботі.

Контрольні питання

1. У чому суть прямого і зворотного ходу методу Гауса|Гаус|? Перерахуєте його достоїнства і недоліки|нестача,недолік|?

2. Кількість довгих операцій в методі Гауса|Гаус|.

3. Пояснить алгоритм методу LU-розкладання. Достоїнства і недоліки|нестача,недолік| цього методу.

4. Пояснить операцію факторизації матриці|матриця|.

5. Як визначаються коефіцієнти передачі|передача| схеми по струму|тік| і напрузі|напруження|?

6. Область застосування|вживання| функції lsolve|, її вхідні і вихідні змінні.

7. Скласти і пояснити програму рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних рівнянь алгебри за допомогою функції lu|.

8. Пояснить метод зворотної матриці|матриця|. Скласти програму його використання.

9. Як розраховується вектор струмів |тік|?

10. Як розраховуються векторі напруг , ?

3 Моделювання нелінійних резистивних схем Лабораторна робота № 5 Чисельні методи розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь при моделюванні нелінійних схем

Мета роботи - вивчення основних чисельних методів розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь при дослідженні математичних моделей нелінійних резистивних схем.

Теоретичні відомості

Нелінійні резистивні схеми, у загальному випадку, описуються системами нелінійних алгебраїчних рівнянь (НАР), при рішенні яких використовуються різни ітераційні методи, наприклад, метод простої ітерації, метод Ньютона, а також різноманітні їх модифікації.

Формула методу простої ітерації має наступний вигляд:

, (3.1)

де – вектори з n змінних, що відповідають m-й та m+1-й ітераціям;

F(X_m) – вектор-функція розмірності n.

Для використання формули (3.1) необхідно привести математичну модель нелінійної резистивної схеми до явного виду .

Для випадку одного нелінійного рівняння формула (3.1) перетворюється до вигляду:

(3.2)

Ітераційний процес (3.1) збігається при виконанні умови :

або , (3.3)

i,k=1,2, … ,n

Для одного нелінійного рівняння умова (3.3) перетворюється до виду:

.

Швидкість збігу методу простої ітерації лінійна. Більш високу, а саме квадратичну швидкість збігу, має метод Ньютона-Рафсона. Його формула має вигляд:

, (3.4)

де – матриця, зворотня матриці Якобі, визначеній на m-й ітерації.

Формула (3.4) застосовується до математичної моделі нелінійної резистивної схеми неявного виду . Ця формула одержується шляхом розкладу нелінійної функції у ряд Тейлора, де беруться перші два члени, що відповідає лінеаризації нелінійної функції.

При моделюванні нелінійних схем спочатку складається її модель у вигляді системи НАР, яка перетворюється на кожній ітерації у систему лінійних алгебраїчних рівнянь (ЛАР) за допомогою формули, що випливає з (3.4):

, (3.5)

де .

Рішення (3.5) дозволяє знайти .

Для випадку одного нелінійного рівняння формула (3.4) перетворюється до вигляду:

. (3.6)

Для початку обчислень слід задати початкове наближення x₀. Процес вирішення рівняння (3.6) складатиметься з послідовних наближень до рішення , починаючи з x₀:

, і так далі.

Ітераційний процес закінчують досягши заданої точності ε_доп:

. (3.7)

Зв'язок між погрішностями на сусідніх ітераціях визначається таким чином:

(3.8)

де .

Умова вигляду (3.8) відповідає квадратичній швидкості збіжності.

Метод Ньютона, дякуючи високому збігу, знаходить широке застосування у програмах аналізу нелінійних схем.

Для чисельних розрахунків нелінійних ланцюгів в системі MathCAD можна скористатися функцією root(f,x₀). Ця функція реалізована на основі методу Ньютона, її вхідними параметрами є функція f(x) нелінійного рівняння f(x)=0 і початкове наближення x₀.

Прості нелінійні ланцюги можуть бути розраховані графічно- аналітичним методом. Наприклад, для ланцюга на рис. 3.1 математична модель складається з двох рівнянь:

(3.9)

Перше рівняння нелінійне алгебраїчне, воно задане вольт-амперною характеристикою (ВАХ) діода. Друге рівняння лінійне алгебраїчне, воно складене згідно із законом Кирхгофа для напруги і визначає положення прямої навантаження на вольт-амперній характеристиці. Точка перетину прямої навантаження з ВАХ є вирішенням системи рівнянь (3.9) і задає режим схеми по постійному струму.