6. Пример решения уравнений параболического типа

. В качестве примера решения уравнений параболического типа рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности

ρ(x,y)C(x,y)∂T/∂t–Δ(k(x,y)∙ΔT)=f (x,y), (3.15)

где t – время; х, y – координаты; T(x, y) – искомая функция распределения абсолютной температуры по координатам; ρ(x, y) – плотность вещества; С(x, y) – удельная теплоемкость вещества; k(x, y) – коэффициент теплопроводности вещества; f(x, y) – плотность мощности источников тепла, на прямоугольной области с граничными условиями Дирихле или Неймана на границах x = x_min,

x = x_max, y = y_min, y = y_max и начальными условиями первого или второго рода на отрезке времени [t_min, t_max].

Зададим на отрезке [x_min, x_max] равномерную координатную сетку с шагом Δх:

X = {x_i|i=1, 2,…, n}, (3.16)

на отрезке [y_min, y_max] равномерную координатную сетку с шагом Δy:

Начальные условия первого рода для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде

T (x,y,t1)=g_t(x, y ), (3.17)

где t₁ – начальный момент времени; g_t(x, y) – некоторая непрерывная функция соответствующих координат.

Начальные условия второго рода для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде

T/∂t |x,y,t₁ = g_t (x, y). (3.18)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной сетке с использованием метода конечных разностей, получим

T₁,j,l =g₁(y_j ); (3.19)

Tn,j,l =g₂(y_j ); (3.20)

Ti,1,l =g₃(x_i); (3.21)

Ti,m,l =g₄(x_i), (3.22)

где T_1,j,l, T_n,j,l, T_i,1,l, T_i,m,l – значения функции T(x, y, t) в точках (x₁, y_j, t_l), (x_n, y_j, t_l), (x_i, y₁, t_l), (x_i, y_m, t_l), соответственно.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерности n⋅m⋅s.

Ниже приведены результаты одного из вариантов численного решения уравнения (3.15) с граничными условиями (3.19) – (3.22) и начальными условиями (3.17) или (3.18) на равномерной сетке без комментариев.

Не приводя здесь код программы, отметим, что её описание необходимо сохранять в виде текстового файла с именем termo_2d.m и помещать его в каталог /WORK, находящийся в корневом каталоге системы MATLAB.

Вызов функции termo_2d может осуществляться следующими командами:

termo_2d;

x=termo_2d;

[x,y]=termo_2d;

[x,y,t]=termo_2d;

[x,y,t,T]=termo_2d(t0,ts,s,x0,xn,n,y0,ym,m,r,c,k,f, ...

vt,gt1,v1,g1,v2,g2,v3,g3,v4,g4).

При использовании первой, второй, третьей или четвертой команд функция будет выводить графически решение задачи при входных параметрах, принятых по умолчанию. На рис. 3.32. показано Окно приложения i_termo в процессе вывода результатов

Рис. 3.32. Окно приложения i_termo в процессе вывода результатов

Графики распределений температуры по координатам в различные моменты времени будут выводиться в отдельных окнах. После вывода всех графиков в новом окне будет показано изменение температуры во всех точках координатной сетки в динамическом режиме (movie).

Правила вывода информации при вызове функции termo_2d аналогичны соответствующим правилам для функции puass_2d.

П усть необходимо решить задачу о нестационарном распределении температуры в медном стержне прямоугольного профиля длиной 20 см, шириной 1 см (плотность 8900 кг/м³, удельная теплоемкость 380 Дж/(кг⋅К), коэффициент теплопроводности 385 Вт/(м⋅К))на промежутке времени 10 с при условии отсутствия источников и стоков тепла в объеме стержня, если температура на концах стержня равна 300 К и тепловой поток через боковые границы равен нулю для начального распределения температуры, показанного на рис. 3.33.

а

б

в

г

д

е

Рис. 3.33. Распределение температуры по координатам в различные моменты времени: а) t = 0; б) t = 1 с; в) t = 2 с; г) t = 3 с; д) t = 4 с; е) t = 5 с.