1. Постановка динамической задачи гидроупругости для поплавкового гироскопа

Модель поплавкового гироскопа представлена на рис. 1. Корпус 1 прибора, торцевые диски 2, ротор 3 гиромотора являются абсолютно твердыми телами. Корпус 7 поплавка представляет собой замкнутую упругую цилиндрическую оболочку с ребрами жесткости в виде разрывного шпангоута на внутренней поверхности. Радиус ее координатной поверхности – R, а толщина оболочки h₀ << R. Высота ребра h_р, угол раствора ребра 2θ^*, а его длина ε_р. Ротор 3 гиромотора имеет опоры 5, в которых он может перемещаться относительно торцевых дисков 2. Торцевые диски соединены с оболочкой 7 жесткой заделкой. Наружная поверхность ребристой оболочки и поверхность поплавковой камеры образуют цилиндр в цилиндре длиной ℓ₂ и ℓ₁ и радиусами R₂ и R₁, соответственно. Для разгрузки своих опор 6 поплавок взвешен в тонком слое жидкости 4, заполняющей цилиндрическую щель, толщиной δ = R₁ – R₂. Торцевые щели выполнены так, что истечение жидкости в них отсутствует. Для слоя жидкости принята модель вязкой несжимаемой жидкости. Прибор установлен на основании, совершающем гармонические поступательные колебания.

Рис. 1. Вид поплавкового гироскопа с технологическими ребрами жесткости для крепления гиромотора

Введем в рассмотрение оси координат, связанные с абсолютно твердыми телами. Свяжем с центром масс корпуса прибора систему координат O₁X₁Y₁Z₁, систему координат O₂X₂Y₂Z₂ – с центром масс торцевых дисков поплавка, а с ротором гиромотора – O₃X₃Y₃Z₃. Положим, что перемещения вдоль осей O₁Y₁ и O₂Y₂ отсутствуют. Перемещения центра масс корпуса прибора обозначим x₀, z₀, центра масс торцевых дисков – x₁, z₁, а центра масс ротора – x₂, z₂.

Пусть центр масс торцевых дисков O₂, двигаясь относительно поплавковой камеры в плоскости O₁X₁Y₁ совпадает в данный момент времени с фиксированным относительно O₁X₁Y₁Z₁ полюсом О цилиндрической системы координат rθy (рис. 2). За полярную ось примем прямую, проходящую через О и O₁ и наклоненную к оси O₁Z₁ под углом φ. Эксцентриситет ОO₁ обозначим через е << δ. Оси декартовой системы координат, соответствующей цилиндрической системе, совпадают в данный момент времени с осями O₂X₂ и O₂Z₂. Цилиндрический зазор между стенкой камеры и корпусом поплавка на торцевых дисках определяется формулой [1…4] h = δ + ecosθ.

Следуя [3] введем в рассмотрение безразмерные переменные и параметры

ξ = (r – R₂)/2; ζ = 2у/ℓ₂; ε*=2ε_р/ℓ₂; θ_{безразм} = θ; τ = ωt; V_r = eωU_ξ; V_θ = eωU_θ/ψ; V_y = eωℓ₂U_θ/(ψ2R₂);

p = + P(ρυωλ/ψ²) – ρR₂ω²[ cos(θ + φ) + sin( θ + φ)]; Re = δ²ω/υ; λ = е/δ << 1; (1)

ψ = δ/R₂ << 1; U = u_mU₁; V = v_mU₂; W = w_mU₃; a = (h₀/R)²/12; ,

где λ – относительный эксцентриситет; ψ – относительная ширина цилиндрической щели;  – уровень отсчета давления; Р – безразмерное давление; ρ, υ - соответственно плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости; r₀, Е, m₀ – плотность, модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала корпуса поплавка, соответственно; Re – колебательное число Рейнольдса; u_m, v_m, w_m – амплитуды упругих перемещений оболочки-корпуса поплавка; V_r, V_θ, V_y – компоненты скорости жидкости; ω – частота колебаний.

Рис. 2. Цилиндрические и декартовы системы координат, связанные с корпусом прибора и поплавком

При этом, с учетом ψ << 1, задача гидроупругости гироскопа представляет собой [3]:

- уравнения динамики слоя жидкости

(2)

- уравнения динамики ребристой оболочки-корпуса поплавка

(3)

- уравнения динамики абсолютно твердых тел прибора

, (4)

где ; ; ; ; ; ΔН(ζ) = H(ζ – ζ_p) – H[ζ – (ζ_p + ε*)]; ΔН(θ) = H(θ – θ_p) – H[θ – (θ_p + 2θ*)] + H[θ – (θ_p + π)] – H[θ – – (θ_p + π + 2θ*)]; H(ζ), H(θ) – функции Хевисайда по продольной и окружной координате, соответственно; , θ_р – координаты начала ребра; , , , , , – обобщенные усилия и моменты, действующие в координатной поверхности ребристой оболочки [3, 5, 6]; , , , , – коэффициенты жесткости и демпфирования опор ротора по осям O₂X₂ и O₂Z₂ соответственно; , , – коэффициенты жесткости опор поплавка по осям O₁X₁ и O₁Z₁ соответственно; m₂, m₃ – масса торцевых дисков и ротора, соответственно; ,  – соответственно окружное перемещение и прогиб корпуса поплавка вместе с гиромотором при y = 0 и θ + φ = 0; , – проекции силы, действующей на торцевые диски со стороны упругого корпуса поплавка, на оси O₁X₁ и O₁Z₁, соответственно.

Краевые условия на непроницаемых поверхностях поплавковой камеры и корпуса поплавка, условие жесткой заделки оболочки-корпуса поплавка и краевые условия в цилиндрической щели при ψ << 1 имеют вид

(5)

Реакции, действующие на торцевые диски поплавка со стороны ребристой оболочки-корпуса поплавка, могут быть выражены с учетом уравнений динамики оболочки, через гидромеханические и инерционные силы и моменты [1…3]. В уравнениях динамики оболочки в левых частях стоят усилия и моменты, действующие в координатной поверхности оболочки, даламберовы силы инерции и силы инерции переносного ускорения. В их правых частях стоят напряжения, действующие со стороны слоя жидкости на внешнюю поверхность оболочки, но снесенные на ее координатную поверхность. Умножив уравнения (3) на соответствующие орты цилиндрической системы координат и сложив их, получим векторное уравнение. Проинтегрируем левую часть, этого уравнения, по координатной поверхности, а правую – по внешней поверхности оболочки. Проделаем аналогичную процедуру, предварительно векторно умножив левую часть уравнения на радиус-вектор точек срединой поверхности, а правую — на радиус-вектор точек внешней поверхности оболочки.

В результате получим выражение для силы, действующей на торцевые диски поплавка со стороны упругой оболочки-корпуса в проекциях на оси O₁X₁ и O₁Z₁

(6)

здесь m₇ =  [1 + (1 – h₀/h_p)(h_p/h₀)ε^*θ^*/π] – масса корпуса поплавка; – масса жидкости в объеме поплавка.

При этом проекции момента, действующего на торцевые диски поплавка со стороны упругой оболочки-корпуса в проекциях на оси O₂X₂ и O₂Z₂, запишутся как:

, , , (7)

здесь – проекции вектора момента, определяемого силами инерции геометрически нерегулярной оболочки; – проекций гидромеханического момента.

Проекции и имеют вид

(8)

(9)

Проекция представляет собой возмущающий момент , действующий со стороны жидкости через ребристую оболочку, на торцевые диски и приводящий к ложному повороту гироузла. Кроме того, согласно теореме о переносе центра приведения, поворот торцевых дисков также будет вызывать так называемый инерционный возмущающий момент, обусловленный смещением центра масс ротора гиромотора относительно центра масс торцевых дисков. С учетом уравнений динамики абсолютно твердых тел прибора (4) данный момент имеет вид:

. (10)

Математическое моделирование дрейфа нуля в поплавковом гироскопе

Учитывая сказанное, проведем расчет скоростей дрейфа <р₁>, <р₂> модели с упругим корпусом поплавка без ребер жесткости и абсолютно твердой рамкой поплавка и модели с упругим корпусом, имеющим технологические ребра жесткости. Рассмотрим линейную вибрацию, при которой , и круговую вибрацию, при которой , , для модели поплавкового прибора с параметрами: R₂ = 3·10^-3 м, ℓ₂ = 6,8·10^-2 м, h₀ = 1,3·10^-3 м, Е = 2,943·10¹¹ Па, μ = 10^-2, ρ = ρ₀ = 1,84·10³ кг/м³, δ = 10^-4 м, υ = 1,85·10^-4 м²/с, m₂ + m₇ = 23,58·10^-2 кг, m₃ = 8,8·10^-2 кг, h_p = 1,2·10^-2 м, θ^* = π/4, ε_р = 4·10^-2 м, 0 кг/c², 2,51·10³ кг/c², 3,27·10⁷ кг/c²,  98,1 кг/c, Н = 0,118 Н·м·с. Амплитуда переносного виброускорения принималась равной 1g.

Проведенные расчеты показали, что на скорости дрейфа <р₂> наличие ребер жесткости не оказывает значимого влияния и для рассматриваемых моделей они практически совпадают (отличие порядка 2-3%) во всем рабочем диапазоне частот вибрации. Графики скоростей дрейфа <р₂> при круговой вибрации представлены на рис. 3, а для случая линейной вибрации – на рис. 4.

С другой стороны расчеты скоростей дрейфа <р₁> показали положительное влияние ребер жесткости при круговой вибрации, выражающиеся в существенном их снижении, а при линейной вибрации – отрицательное, проявляющиеся в возрастании скорости дрейфа по сравнению с прибором имеющим геометрически регулярный поплавок с жесткой рамкой (см. рис.5). При круговой вибрации в модели с ребристым корпусом поплавка скорости дрейфа <р₁> оказываются в широком диапазоне частот на один-два порядка меньше, чем в модели с упругим геометрически регулярным корпусом поплавка. При линейной вибрации на низких и средних частотах скорости дрейфа <р₁>, в случае рассмотрения корпуса как оболочки с ребрами жесткости, оказываются больше, чем в случае представления его гладкой оболочкой (см. рис.6). Данная тенденция объясняется влиянием неравножесткости корпуса поплавка с технологическими ребрами жесткости.

Рис. 3. Скорости дрейфа, обусловленные моментом при круговой вибрации

Рис. 4. Скорости дрейфа, обусловленные моментом при линейной вибрации

Рис. 5. Скорости дрейфа, обусловленные моментом <L_гм> при круговой вибрации

1 – прибор с геометрически регулярным упругим корпусом поплавка;

2 – прибор с упругим корпусом поплавка с ребрами жесткости