Математическая модель ммг rr-типа

Рассмотрим теперь математическую модель микромеханического вибрационного гироскопа RR-типа с карданным подвесом. Учтем при этом особенности пондеромоторных взаимодействий в гироскопе.

В первом приближении его система уравнений имеет следующий вид:

М_ДМ

(5.93)

,

где и углы поворота соответственно внутренней и внешних рамок вокруг их осей подвеса; A₁, B₁, C₁- главные моменты инерции внешней рамки соответственно относительно связанных с ней осей X₁,Y₁,Z₁ (при =0 трехгранник X₁Y₁Z₁ совпадает с трехгранником основания X₀Y₀Z₀, указанным на рис.5.33); A_2, B_2, C₂ - главные моменты инерции внутренней рамки относительно соответственно связанных с ней осей X₂,Y₂,Z₂ (при =0, =0 трехгранник X₂Y₂Z₂ совпадает с трехгранником основания X₀Y₀Z₀); b_{ ,}b_ - коэффициенты демпфирования соответственно вокруг осей внешней и внутренней рамок; G_, G_ - угловые жесткости по осям внешней и внутренней рамок соответственно; _x0, _y0, _z0 – проекции угловой скорости основания на связанные с ним оси X₀,Y₀,Z₀ (_y0 – измеряемая компонента угловой скорости);

- проекции угловых ускорений основания на связанные с ним оси X₀,Y₀,Z₀; М_Д=M₀ cos t – момент, развиваемый электростатическим вибрационным гиродвигателем системы возбуждения относительно оси внутренней рамки; M_ДM - момент, развиваемый электростатическим датчиком момента относительно оси внешней рамки. В первом уравнении системы (5.93) гироскопический момент является информационным; выходная координата – угол β.

Для съема информации о перемещениях внутренней и внешней рамок по углам  и  применяется емкостная система съема. ММГ работает в режиме обратной связи по моменту, реализуемой с помощью электростатического датчика момента. Электростатические гиродвигатель и датчик момента, а также емкостные датчики перемещений рамок создают пондеромоторные моменты, воздействующие на рамки подвеса, вносят отрицательные жесткости и демпфирование в колебательную систему рамок ММГ, изменяя при этом параметры подвеса. Соответствующие электроды этих элементов конструкции обозначены на рис. 5.44. Соотношения, определяющие совокупные параметры жесткости и демпфирования, фигурирующие в системе уравнений (7.70), в первом приближении имеют следующий вид:

b_βДП

b_βДМ

b_γДП

b_{γД ;}

b_βДП

b_βДМ

b_γДП

b_γД

G_βДП

G_βДМ

G_γДП

G_{γД ;}

G_βДП

G_βДМ

G_γДП

G_γД

(5.94)

где: b_m –коэффициент демпфирования механической природы вокруг оси внешней рамки; b_ДП - коэффициент демпфирования, вносимый емкостным датчиком положения ДП внешней рамки; b_ДМ - коэффициент демпфирования, вносимый электростатическим датчиком момента вокруг оси внешней рамки; b_m - коэффициент демпфирования механической природы вокруг оси внутренней рамки; b_ДП - коэффициент демпфирования, вносимый емкостным датчиком положения внутренней рамки; b_Д - коэффициент демпфирования, вносимый электростатическим гиродвигателем вокруг оси внутренней рамки; G_m – механическая жесткость на кручение вокруг оси внешней рамки; G_ДП – отрицательная жесткость вокруг оси внешней рамки, вносимая емкостным датчиком ее положения; G_ДM – отрицательная жесткость вокруг оси внешней рамки, вносимая электростатическим датчиком момента; G_m – механическая жесткость на кручение вокруг оси внутренней рамки; G_ДП – отрицательная жесткость вокруг оси внутренней рамки, вносимая емкостным датчиком ее положения; G_Д – отрицательная жесткость вокруг оси внутренней рамки, вносимая электростатическим гиродвигателем; U₀, U₀₁, U₀₂, U₀₃ – опорные напряжения на электродах С₀, С₀₁, С₀₂, С₀₃ соответственно датчика положения внешней рамки, датчика момента внешней рамки, датчика положения внутренней рамки, гиродвигателя (рис.5.44); U_01, U₀₃ – управляющие напряжения на электродах соответственно датчика момента внешней рамки и гиродвигателя внутренней рамки; R – входное активное сопротивление усилителей датчиков положения внутренней и внешней рамок; d₀ – номинальная величина зазора между электродами и рамками подвеса; r₀, r₀₁ - расстояния от оси внешней рамки до середин соответственно электродов датчика ее положения и датчика момента; r₀₂, r₀₃ – расстояния от оси внутренней рамки до середин соответственно электродов датчика ее положения и гиродвигателя.

Моменты, развиваемые датчиком момента внешней рамки и гиродвигателем внутренней рамки, определяются следующими соотношениями:

М_Д

М_ДМ

(5.95).

Масштабные коэффициенты емкостных датчиков угловых положений внешней и внутренней рамок (для случая запитывания датчиков постоянными напряжениями U₀, U₀₂) таковы:

(5.96)

где K_A, K_A. – коэффициенты усиления усилителей датчиков положения соответственно внешней и внутренней рамок.

Управляющее напряжение U₀₁ на электродах датчика момента формируется следующим образом (для варианта компенсации гироскопического момента гармоническим сигналом):

U₀₁=K W_ф(s)K_A,

где K – коэффициент усилителя мощности; W_ф(s)=(T₁s+1)/(T₂s+1) – передаточная функция корректирующего звена.

На практике в системе уравнений (5.93), описывающих движение гироскопа, можно пренебречь:

- динамическими жесткостями вокруг осей соответственно внешней и внутренней рамок

- перекрестными позиционными моментами вокруг осей соответственно внешней и внутренней рамок:

- аддитивными инерционными моментами вокруг осей соответственно внешней и внутренней рамок:

Эти упрощения возможны по следующим причинам. Как показывают оценки, в диапазоне максимальных угловых скоростей основания порядка 10 рад/c , при типовых угловых скоростях колебаний рамок порядка 30 рад/c и их моментах инерции порядка 5 10^-11кгм² динамическая жесткость примерно на 6 порядков меньше механической жесткости подвеса, составляющей величину порядка 10^-2нм/рад. Перекрестный позиционный момент вокруг оси внешней рамки при тех же условиях и при достаточно большой величине углового ускорения порядка 100 рад/c² сравним с полезным гироскопическим моментом, порождаемым сравнительно малой угловой скоростью - порядка 1,7 10^-5 рад/c, что также позволяет пренебречь этим позиционным моментом. Перекрестный позиционный момент вокруг оси внутренней рамки примерно на два-три порядка меньше момента, развиваемого гиродвигателем (M_Д 10^-7нм). Аддитивный инерционный момент вокруг оси внешней рамки для указанных выше угловых скоростей и ускорений основания эквивалентен по величине полезному гироскопическому моменту вокруг этой оси, порождаемому измеряемой угловой скоростью _y0 порядка 1рад/с. Однако, этот аддитивный инерционный момент является квазипостоянным по сравнению с информационным гироскопическим и, поэтому, эффективно фильтруется высокодобротным подвесом внешней рамки, “настроенным” на частоту гироскопического момента. Аддитивный инерционный момент вокруг оси внутренней рамки также является квазипостоянным по отношению к гармоническому моменту гиродвигателя и также хорошо фильтруется высокодобротным подвесом внутренней рамки, при этом величина его примерно на два-три порядка меньше момента, развиваемого гиродвигателем.

Гироскопический момент вокруг оси внутренней рамки (второе уравнение в (5.93)) в режиме работы ММГ в качестве датчика угловой скорости также является возмущающим. При отсутствии обратной связи по моменту вокруг оси внешней рамки (датчик момента не используется) при максимальной измеряемой угловой скорости, например _y0=10 рад/c, некомпенсированные колебания внешней рамки порождают этот возмущающий гироскопический момент по оси внутренней рамки, сравнимый по величине с моментом гиродвигателя. Использование компенсационного датчика момента позволяет значительно уменьшить величину возмущающего гироскопического момента за счет подавления угловой скорости по координате ; при этом в модели (5.93) указанным моментом можно пренебречь. При измерении малых угловых скоростей в ограниченном диапазоне порядка _y0=(1-3) рад/c (гироскопический возмущающий момент примерно на два порядка меньше момента гиродвигателя) можно использовать ММГ в режиме прямого преобразования.

С учетом рассмотренных упрощений система уравнений (5.93) приобретает следующий вид:

М_ДМ;

(5.97)

где С = С₁ +С_{2 .}

Движение внутренней рамки, обеспечиваемое гиродвигателем, в режиме резонанса имеет следующий вид:

, (5.98)

где ₀=_0 – собственная частота колебаний внутренней рамки; Q _ =A₂ _0/ b_ - добротность внутренней рамки.

Движение внешней рамки под воздействием гироскопического момента

М_г=(А₂ - В₂+С₂) _y0^ при резонансе в режиме прямого преобразования имеет следующий вид:

, (5.99)

где Q_ = C _0/ b_ - добротность внешней рамки; _0=₀ - собственная частота колебаний внешней рамки.

В

U_ДУβ

ыходной сигнал U_ДУ ММГ датчика угла (ДУ) внешней рамки определяется соотношением:

(5.100)

Для выделения огибающей, пропорциональной измеряемой угловой скорости _y0, выходной сигнал U_DУ датчика угла подвергается процедуре синхронного детектирования.