§ 7.2. Прямые и обратные задачи оптимизации

Задачи исследования операций делятся на две категории: прямые и обратные.

Прямые задачи отвечают на вопрос: «Что будет, если...?» Что будет, если в заданных условиях мы примем некоторое решение х  X? В частности, чему будет равен, при данном решении х, выбранный показатель эффективности W? Для решения такой задачи строится математическая модель, позволяющая выразить один или несколько показателей эффективности через заданные условия и элементы решения.

Обратные задачи отвечают на вопрос: «Как сделать, чтобы…?» Как выбрать решение х для того, чтобы показатель эффективности W обратился в максимум?

Очевидно, что прямые задачи проще обратных и что для решения обратной задачи прежде всего надо уметь решать прямую. Для некоторых типов операций прямая задача решается настолько просто, что ею специально не занимаются. Для других типов операций построение математических моделей и вычисление показателя эффективности само по себе далеко не тривиально. Обратная задача и есть задача оптимизации.

§ 7.3. Постановка задачи оптимизации (обратной задачи исо) в общей форме

Пусть есть некоторая операция 0, на успех которой мы можем влиять, выбирая тем или другим способом решение х (вспомним, что х — не число, а целая группа параметров). Пусть эффективность операции характеризуется одним показателем W  max.

Пусть все условия операции полностью известны заранее, не содержат неопределенности. Тогда все факторы, от которых зависит успех операции, - это зависящие от нас элементы решения, образующие в своей совокупности решение х.

Показатель эффективности W зависит от элементов решения и от ограничивающих факторов. Это мы запишем в виде формулы:

W=W(,x) (1)

Будем считать, что вид зависимости (1) нам известен, т. е. прямая задача решена. Тогда обратная задача формулируется следующим образом:

Найти такое решение х = х*, которое обращает показатель эффективности W в экстремум, например, в максимум. W* = max {W (, х)}. (2)

xX

Формула (2) читается так: W* есть максимальное значение W(х), взятое по всем решениям, входящим в множество возможных решений X.

Если число возможных вариантов решения, образующих множество X, невелико, то можно попросту вычислить величину W для каждого из них, сравнить между собой полученные значения и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов, для которых W достигает максимума. Такой способ нахождения оптимального решения называется «простым перебором». Однако, когда число возможных вариантов решения, образующих множество X, велико, поиск среди них оптимального «вслепую», простым перебором, затруднителен, а зачастую практически невозможен. В этих случаях применяются методы «направленного перебора», обладающие той общей особенностью, что оптимальное решение находится рядом последовательных «попыток» или «приближений», из которых каждое последующее приближает нас к искомому оптимальному.

Существует целый набор численных методов отыскания экстремумов, некоторые из них включают элемент «случайного поиска», который для многомерных задач нередко оказывается эффективнее упорядоченного перебора.