§ 8. Многокритериальная оптимизация.

Мы до сих пор рассматривали только самые простые случаи, когда ясен критерий, по которому производится оценка эффективности, и требуется обратить в максимум (минимум) один-единственный показатель W. К сожалению, на практике такие задачи, где единственный критерий оценки однозначно диктуется целевой направленностью операции, встречаются не так уж часто — преимущественно при рассмотрении небольших по масштабу и скромных по значению мероприятий. А когда идет речь о крупномасштабных, сложных операциях, затрагивающих разнообразные интересы их организаторов и общества в целом, то их эффективность, как правило, не может быть полностью охарактеризована с помощью одного-единственного показателя эффективности W. На помощь ему приходится привлекать другие, дополнительные. Такие задачи исследования операций называются многокритериальными.

Рассмотрим пример такой задачи. Организуется оборона важного объекта от воздушных налетов. В нашем распоряжении — какие-то средства противовоздушной обороны, которые надо разумным образом разместить вокруг объекта, организовать их взаимодействие, распределить между ними цели, назначить боезапас и т. д. Допустим, что каждый из самолетов противника, участвующих в налете, является потенциальным носителем мощного поражающего средства, которое, будучи применено по объекту, гарантирует его уничтожение. Тогда главная задача операции — не допустить к объекту ни одного самолета, а естественный показатель эффективности — вероятность W того, что ни один самолет не прорвется к объекту. Но единственный ли это важный для нас показатель? Безусловно, нет. При одной и той же вероятности W мы предпочтем все-таки решение, при котором будет погибать в среднем побольше самолетов противника. Отсюда второй показатель эффективности М — среднее число пораженных целей, который нам тоже хотелось бы максимизировать. Кроме того, нам далеко не все равно, каковы будут наши собственные боевые потери П — еще один критерий, который хотелось бы минимизировать. Желательно было бы, кроме того, сделать поменьше средний расход боеприпасов R, и т. д.

Другой пример — на этот раз из совершенно мирной области. Организуется (или реорганизуется) работа промышленного предприятия. Под углом зрения какого критерия надо выбирать решение? С одной стороны, нам хотелось бы обратить в максимум валовой объем продукции V. Желательно также было бы получить максимальный чистый доход D. Что касается себестоимости S, то ее хотелось бы обратить в минимум, а производительность труда П — в максимум. При обдумывании задачи может возникнуть еще ряд дополнительных критериев.

Такая множественность показателей эффективности, из которых одни желательно обратить в максимум а другие — в минимум, характерна для любой сколько-нибудь сложной задачи, требующей оптимизации.

Итак, типичной для крупномасштабной задачи исследования операций является многокритериальность — наличие ряда количественных показателей W₁, W₂ ..., одни из которых желательно обратить в максимум, другие — в минимум.

Спрашивается, можно ли найти решение, одновременно удовлетворяющее всем этим требованиям? Со всей откровенностью ответим: нет. Решение, обращающее в максимум один какой-то показатель, как правило, не обращает ни в максимум, ни в минимум другие.

Как же решаются такие задачи? Возможно, есть способы сведения многокритериальных задач к однокритериальным? Да, такие способы есть, хотя их использование привносит в задачи значительную субъективность.

1) Нередко применяется следующий способ составления «обобщенного показателя эффективности». Он представляет собой «взвешенную сумму» частных показателей, в которую каждый из них W_i, входит с каким-то «весом» _i, отражающим его важность:

W = ₁ W₁ + ₂ W₂ +... (1)

Для тех показателей, которые желательно увеличить, веса берутся положительными, уменьшить — отрицательными.

При произвольном назначении весов _i этот способ не приводит к сколько-нибудь достоверным результатам. Но если оценку весовым коэффициентам даёт опытный эксперт (а лучше, группа экспертов), и их независимые оценки усредняются, то можно говорить об определённой приближённости модели к реальности.

2) Существует ещё один, часто применяемый способ свести многокритериальную задачу к однокритериальной — это выделить один (главный) показатель W_гл и стремиться его обратить в максимум, а на все остальные W₁, W₂, … наложить только некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше каких-то заданных величин. Например, при оптимизации плана работы предприятия можно потребовать, чтобы прибыль была максимальна, план по ассортименту — выполнен или перевыполнен, а себестоимость продукции — не выше заданной. При таком подходе все показатели, кроме одного — главного, переводятся в разряд заданных условий .

Существуют способы осмыслить решение многокритериальных задач, не прибегая к свёртке или замене критериев.

3) Математический аппарат не панацея, и не следует слепо доверять рекомендациям математических выкладок. Но он помогает «выбраковать» из множества возможных решений Х заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям.

Проиллюстрируем прием выделения таких решений на примере задачи с двумя критериями: W₁ и W₂ (оба требуется максимизировать). Множество Х состоит из конечного числа n возможных решений х₁, x₂, … x_n. Каждому решению соответствуют определенные значения показателей W₁, W₂. Будем изображать решение точкой на плоскости с координатами W₁, W₂ и занумеруем точки соответственно номеру решения (рис).

Пусть в составе множества возможных решений есть два решения х₁ и х₃ такие, что оба критерия W₁ и W₂ для третьего решения больше или равны соответствующим критериям для первого решения, причем хотя бы один из них действительно больше. Очевидно, тогда в составе множества Х нет смысла сохранять решение х₁, оно вытесняется (или, как говорят, «доминируется») решением х₃. Ладно, выбросим решение x₁ как неконкурентоспособное и перейдем к сравнению других решений по всем критериям. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество Х обычно сильно уменьшается: в нем сохраняются только так называемые эффективные решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения. Эти решения образуют так называемое множество несравнимых вариантов, множество парето.

В примере из всего множества Х эффективными будут только решения х₆, x₇, x₈, x₉, лежащие на правой верхней границе области возможных решений (см. точки, соединенные пунктиром, на рис). Для всякого другого решения существует хотя бы одно доминирующее, для которого либо W₁, либо W₂, либо оба больше, чем для данного. И только для решений, лежащих на правой верхней границе, доминирующих не существует.

Когда из множества возможных решений выделены эффективные, «переговоры» могут вестись уже в пределах этого «паретовского» множества. В примере решение х₆ — наилучшее по критерию W₂, x₉ — по критерию W₁. Дело лица, принимающего решение, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и «приемлем» по обоим критериям.

Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда показателей не два, а больше (при числе их, большем трех, геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется). Множество эффективных решений легче обозримо, чем полное множество X. Что касается окончательного выбора решения, то он по-прежнему остается прерогативой человека. Только человек, с его непревзойденным умением решать неформальные задачи, принимать так называемые «компромиссные решения» (не строго оптимальные, но приемлемые по ряду критериев) может взять на себя ответственность за окончательный выбор.