ДМ. Лекция № 1
Введение в математический язык
§ В.1. Общие понятия
Высказывания – это такие предложения, о которых разумно говорить, что они являются истинными или ложными.
Примеры высказываний.
«2 х 2 = 4» - истинное высказывание.
«3 > 5» - ложное высказывание.
«Земля вращается вокруг Солнца по круговой орбите» - истинное высказывание.
«Сегодня плохая погода» - это предложение не следует относить к высказываниям в силу чрезмерной субъективности понятия «плохая погода».
Синоним слова «высказывание» - «утверждение».
Об истинных высказываниях будем говорить, что они имеют значение «истина» («и», 1, да…), а о ложных – что они имеют значение «ложь» («л», 0, нет…).
Переменными в некотором рассматриваемом выражении будем называть такие символы, вместо которых можно подставлять числа, выражения и т.п.
Объявляя букву в выражении переменной, для неё необходимо задать область значений. Например, переменная, в область значений которой входят только числа, называется числовой переменной.
Выражение, в которое входят переменные, называется формой, а выражение, не содержащее переменных – константой.
Функция. Если каким-либо образом каждому элементу х некоторого множества Х поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то говорят, что имеет место отображение множества X во множество Y, или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y. Обозначается f: XY.
Переменная, в область которой входят два значения «и» и «л», называется логической (или высказывательной) переменной. Иначе говоря, область значения переменной описывается двоичным множеством В = {и,л} (или В = {1,0}).
§ В.2. Операции над высказываниями
Отрицание высказывания А обозначается ^A и означает высказывание, имеющее значение, противоположное значению А. Этой логической операции соответствует логический союз «не».
^и = л , т.е. ^A ложно, если А истинно.
^л = и , т.е. ^А истинно, если А ложно.
Конъюнкция высказываний А и В обозначается А & В и означает высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Операция конъюнкции соответствует логическому союзу «и».
и & и = и
и & л = л
л & и = л
л & л = л
Пример 1. Истинны ли следующие высказывания?
а) «2 < 3 и 4 – чётное число»;
б) «2 < 3 и 5 – чётное число».
Дизъюнкция высказываний А и В обозначается А В и означает высказывание, ложное тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В. Операция конъюнкции соответствует логическому союзу «или».
и и = и
и л = и
л и = и
л л = л
Пример 2. Истинны ли следующие высказывания?
а) «3 < 2 или 4 – чётное число»;
б) «3 < 2 или 5 – чётное число».
Предикаты. Предикатом P(x1, x2, … xn) называется функция Р: МВ, где М - произвольное множество, а В – двоичное множество {1,0}. Другими словами, n – местный предикат, определённый на множестве М – это двухзначная функция от n аргументов, принимаемых значения в произвольном множестве М.
Примеры предикатов.
а) х>3, хR
Здесь х – числовая переменная, определённая на множестве R – множестве действительных чисел. Результат выражения, в зависимости от значения х, может принимать только два значения: ложь или истина.
б) А(х>3)
АВ, хR, где В – двухэлементное множество, R – множество действительных чисел.
Пример 3. Найти значения высказывательных форм.
а) (х < 3) ( х > 5)
б) (х < 5) ( х > 3)