Глава 1. Множества

§ 1.1. Понятие множества.

Одним из основных, исходных понятий математики являются понятия множества и его элементов. Как и все первоначальные исходные понятия, понятие множество является неопределимым.

Множество состоит из элементов, т.е. о множестве можно сказать, что это совокупность однородных элементов. Это высказывание не является определением в точном смысле этого слова, т.к. в этом случае нам необходимо дать точное понятие “совокупности”.

Принадлежность элемента a множеству M обозначается a  M.

Множества обозначаются большими латинскими буквами, а элементы множества – малыми латинскими.

Понять, что такое множество можно из примеров.

Пример 1.

а. M₁ – множество всех натуральных чисел 1, 2, 3… . В дальнейшем будем обозначать его N. Элементы N – натуральные числа. Часто 0 тоже считают натуральным числом. Множество, полученное добавлением 0 к N, будем обозначать N₀.

б. M₂ – множество всех натуральных чисел, не превосходящих 12.

в. M₃ – множество всех решений уравнения sinx=1.

Элементы M₃ – числа, являющиеся решением этого уравнения.

г. M₄ – множество всех элементов вида ½ ±2 k, где kN_0.

д. M₅ – множество всех действительных чисел (в дальнейшем будем обозначать его R).

е. M₆ – Учебная группа 2206 (т.е. множество ее студентов).

ж. M₇ – множество всех групп 2 курса 2 факультета.

Элементами M₇ являются учебные группы, т.е. множества типа M_6. Т.о. сами множества могут выступать в качестве элементов других множеств.

з. M₈ – множество всех студентов 2 курса 2 факультета.

Опр. 1 Множество A называется подмножеством множества B, если всякий элемент множества A является и элементом множества B. При этом говорят, что B содержит или покрывает множество A. Обозначается так: АВ; - знак влечения.

Опр. 2 Множество A и B равны, если их элементы совпадают, иначе говоря, если AB и BA

Обозначение равенства множеств: A = B; неравенства множеств: A ≠ B.

Если AB и A≠B, то множество A называется собственным, строгим или истинным подмножеством множества B. Обозначается AB. Знак – знак строгого влечения.

Надо обратить внимание на то, что в случае множества множеств возникает опасность смешения знаков и .

Например, верно то, что M₆ M₇, но неверно, что M₆ M₇.

Множества могут быть конечными, т.е. состоящими из конечного числа элементов, и бесконечными.

Опр. 3 Число элементов в конечном множестве M называется мощностью M и обозначается [M].

Мощность бесконечного множества – более сложное понятие и в данном курсе рассматриваться не будет.

Опр. 4 Множество мощности 0, т.е. не содержащие элементов, называется пустым множеством и обозначается ø. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

§ 1.2. Способы задания множеств.

Множество может быть задано:

1. перечислением (списком своих элементов);

2. порождающей процедурой;

3. описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы.

1. Списком можно задать лишь конечные множества. Задание типа N = 1,2,3... - это не список, а условное обозначение, допустимое лишь тогда, когда не возникает разночтений. Список обычно заключается в фигурные скобки. Например, A = {a, b, d, h} означает, что множество A состоит из четырех элементов a,b,d,h.

Заметим, что может существовать множество, состоящее из одного элемента. Обозначается так {a}.

2. Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Примером служит описание множества M_4, где исходными объектами для построения являются натуральные числа, а порождающей процедурой – вычисление, описанное формулой /2 ± k. Другой пример – множество M₂ⁿ=1, 2, 4, 8, 16…, порождающая процедура для которого определяется следующими двумя правилами:

1. 1 M₂^N

2. Если m M₂^N, то 2m M₂^N

Правила, описанные т.о., называются индуктивными или рекурсивными.

Весьма распространенной порождающей процедурой является образование множества из других множеств с помощью операций над множествами, которые будут рассмотрены позже.

3. Задание множества описанием свойств его элементов – наиболее обычный способ. В примере 1 так заданы множества M_2, M_3, M₅ (примеры 1.б, 1.в, 1.д).

Множество M₂ⁿ можно задать фразой «M₂^N – множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки».

В случае, когда свойства элементов M может быть описана коротким выражением P(x), означающем «x обладает свойством P», M задается при помощи обозначения

M = { x | P(x) }

Выражение читается так: «M – это множество элементов x, обладающих свойством P». Например:

M₂ⁿ = {x | x = 2^k, где k N₀}

M₄ = {x | x = /2 ± k , где k N₀}

К описанию свойств предъявляется требование точности, недвусмысленности. Например, требование «десять лучших кинофильмов 2005г» не может служить свойством для формирования множества, т.к. разные люди задают разные списки, потому что будет пользоваться разными критериями.