§1.4. Векторы и прямые произведения
Вектор - это упорядоченный набор элементов. Это понятие, как и понятие множества, будем считать неопределимым, базовым. Синоним слова вектор - кортеж.
Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты вектора нумеруются слева направо.
Число координат вектора называются его длиной или размерностью.
В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать по значению.
Вектор при записи будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5). Иногда опускают скобки, и даже запятые.
Векторы длиной 2 часто называют упорядоченными парами (или просто парами, двойками), векторы длиной 3 - тройками и т.д. Вектор длины n называют иногда n-кой (энкой).
Опр.9 Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначается прi v) называется его i-ая компонента.
Например, проекция точки плоскости на первую ось - это её абсцисса, на вторую - ордината.
Опр.10 Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и их соответствующие координаты равны.
Т.е. векторы (a1, a2, … an) и (b1, b2, … bm) равны, если n = m, a1 = b1;
a2 = b2, … an = bm.
Опр.11 Прямым произведением множеств A и B называется множество всех пар (a, b), таких, что aA, bB.
Обозначается прямое произведение A B.
Символическая запись: A B = a, b a A, b B .
В частности, если B = A, то обе координаты (a, b) принадлежат A. Такое произведение обозначается A2. Аналогично прямым произведениям n множеств A1, A2, … An (обозначается A1 x A2 x … An) называется множество всех векторов (a1, … an) длины n таких, что a1A1, … anAn.
A x A x … x A обозначается An.
Пример.
а). Множество R x R = R2 - это множество точек плоскости, т.е. пар вида (a, b), где a,b R и являются координатами точек плоскости.
Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Рене Декартом — исторически первый пример прямого произведения. Именно поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.
б). Пусть A = a, b, c, d, f, g, h, B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Тогда A x B = a1, b2, … a8, b1, … b8, … h1 … h8.
Мощность множества │A x B│ = 64. Это клетки шахматной доски.
§1.5. Соответствия и функции.
Опр.12 Соответствием между множествами A и B называется упорядоченная тройка G = (А, В, Г),
где A называется областью отправления,
B - областью прибытия соответствия,
Г – графиком соответствия (Г – это любое подмножество прямого произведения множеств A и B).
Если(a,b)Г, то говорят, что b соответствует a при соответствии G.
Опр.13 Совокупность первых проекций элементов графика соответствия называется областью определения соответствия G и обозначается пр1G = пр1 (a,b) (a,b) Г
Опр.14 Совокупность вторых проекций элементов графика соответствия называется областью значений соответствия и обозначается пр2G = пр2 (a, b) (a, b) G
Если область определения соответствия пр1G совпадает с областью отправления А, то соответствие называется всюду или полностью определённым.
Если область значений соответствия пр2G совпадает с областью прибытия В, то соответствие называется сюръективным.
Опр.15 Множество всех элементов bB, соответствующих элементу aA называют образом элемента a в множестве B при соответствии G. Обозначается ОБG а
Опр.16 Множество всех элементов aA, которым соответствует элемент bB, называется прообразом b в множестве A при соответствии G. Обозначается ПОG b
Если для любого элемента из пр1G образом является одноэлементное множество элементов из пр2G, то соответствие G = (A, B, Г) является функциональным.
Если прообразом любого элемента из пр2G является одноэлементное множество элементов из пр1G, то соответствие G = (A, B, Г) является инъективным.
Если соответствие всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно, то оно называется взаимно - однозначным соответствием (или биективным соответствием, биекцией).
Опр.17 Функцией называется функциональное соответствие. Если функция f устанавливает соответствие между множествами A и B, то говорят, что функция f имеет тип AB и обозначается f A B.
Опр.18 Всюду определённая функция f AB называется отображением A в B.
-