Биномиальные коэффициенты

Числа Стирлинга

Числа Стирлинга первого рода можно использовать, например, для перехода от факториальных степеней xⁿ = x·(x – 1)·…·(x – n + 1) к обычным степеням:

xⁿ = .

Числа Стирлинга второго рода можно использовать, например, для перехода от обычных степеней к факториальным:

xⁿ = .

Кроме того, верны следующие свойства:

Глава II. Рекуррентные соотношения

§ 1. Определение и примеры рекуррентных соотношений

Рекуррентные соотношения получили своё название от латинского слова recurrere – возвращаться. Они играют очень важную роль в дискретной математике, являясь аналогом дифференциальных уравнений. В них участвует последовательность f(0), f(1), … комплексных чисел, подчиняющаяся следующему закону: f(n+1) = F⁽ⁿ⁺²⁾(n, f(n), f(n–1), … , f(0)) (n  N₀), где F⁽ⁿ⁺²⁾ – некоторая заданная функция от (n+2)-х переменных. Таким образом, для вычисления f(n+1) нужно знать предыдущие значения f(n), f(n–1), … , f(0). Если число f(0) задано, то можно последовательно вычислять f(1) = F⁽²⁾(0, f(0)), f(2) = F⁽³⁾(1, f(1), f(0)), … , f(n+1) = F⁽ⁿ⁺²⁾(n, f(n), f(n–1), … , f(0)).

Рассмотренный вид рекуррентных соотношений тесно связан с задачами суммирования. Если нужно вычислить сумму , то эту задачу можно формулировать в описанной выше форме:

f(0) = a₀ , F⁽²⁾(x, y) = y + a_x+1 , f(1) = F⁽²⁾(0, f(0)) = a₀ + a₁ ,

F⁽³⁾(x, y, z) = y +a_x+1 , f(2) = F⁽³⁾(1, f(1), f(0)) = a₀ + a₁ + a₂ , …

В этом примере нужно учитывать, что последовательность {a_n} является функцией a : N₀  C. Кроме того, видно, что некоторые аргументы у использованных в примере функций F⁽ⁿ⁾ излишни.

Этот вид рекуррентных соотношений является слишком общим, чтобы ожидать получения каких-то содержательных результатов: на каждом шаге появляется, вообще говоря, новая функция F⁽ⁿ⁺²⁾. Поэтому разумно сузить определение: рекуррентным соотношением порядка k называется запись вида

f(n+k) = F(n, f(n+k–1), f(n+k–2), … , f(n)) (n  N₀),

где F – фиксированная функция от k + 1 переменного. В этом случае для вычисления f(n+k) нужно вернуться на одно и то же количество шагов – на k, используя уже известные значения f(n+k–1), f(n+k–2), … , f(n). Очевидно, что если заданы значения f(0), … , f(k–1), то остальные значения определены рекуррентным соотношением однозначно:

f(k) = F(0, f(k–1), f(k–2), … , f(0)), f(k+1) = F(1, f(k), f(k–1), … , f(1)), и т.д.

Решением рекуррентного соотношения порядка k называется любая последовательность {u_n} , удовлетворяющая равенствам

u_n+k = F(n, u_n+k–1 , u_n+k–2 , … , u_n)

при любых n  N₀ . Любое конкретное решение называется частным решением рекуррентного соотношения.

Примеры: 1. f(n+1) = (n+1)f(n) – рекуррентное соотношение порядка 1. Здесь F(x, y) = (x+1)y и f(n+1) = F(n, f(n)).

Если f(0) = с, то f(1) = 1f(0) = с1, f(2) = 2f(1) = с12, и т.д. Видно, что f(n) = cn! , где n ! = 12…n и 0 ! = 1. Таким образом, u_n = n ! – частное решение рассматриваемого соотношения.

2. Любую геометрическую прогрессию можно задать в виде рекуррентного соотношения порядка 1: f(n+1) = qf(n), где q – знаменатель прогрессии. Здесь F(x, y) = qy и f(n+1) = F(n, f(n)).

Если f(0) = a, то f(1) = qf(0) = aq, f(2) = qf(1) = aq² , и т.д. Видно, что f(n) = aqⁿ . Решение u_n = 3qⁿ является частным.

3. В виде рекуррентного соотношения порядка 2 можно задать и арифметическую прогрессию: a + nd (n  N₀). Здесь F(x, y, z) = 2y – z и f(n+2) = F(n, f(n+1), f(n)) = 2f(n+1) – f(n).

Если f(0) = a, f(1) = a + d, то f(2) = 2f(1) – f(0) = 2(a + d) – a = a + 2d, f(3) = 2f(2) – f(1) = 2(a + 2d) – (a + d) = a + 3d, и т.д. Видно, что в общем случае f(n) = a + nd. Это построение основано на школьной формуле для арифметической прогрессии f_n = a + nd (n  N₀).

4. Арифметическую прогрессию f_n = a + nd (n  N₀) можно задать и рекуррентным соотношением первого порядка: f_n+1 = a + (n+1)d = a + nd + d = = f_n + d, так что f(n + 1) = F(n, f(n)), где F(x, y) = y + d.

5. Последовательность чисел Фибоначчи также может быть задана как рекуррентная последовательность второго порядка: F(x, y, z) = y + z и f(n+2) = = F(n, f(n+1), f(n)) = f(n+1) + f(n) (n  N).