Алгоритм нахождения общего решения

1. По заданному соотношению f(n+2) = a₁f(n+1) + a₂f(n) составляем характеристическое уравнение () = ² – a₁ – a₂ ;

2. Находим корни ₁ и ₂ этого уравнения ;

3. Если ₁  ₂ , то u(n) = c₁₁ⁿ + c₂₂ⁿ ;

4. Если ₁ =  = ₂ , то u(n) = (c₁ + с₂n)ⁿ .

Пример. Для последовательности Фибоначчи рекуррентное соотношение имеет вид f(n+2) = f(n+1) + f(n) (n  N₀) . Характеристическое уравнение

() = ² –  – 1 = ( – ₁)( – ₂)

имеет два различных корня ₁ = , ₂ = . Поэтому общее решение записывается в виде u_n = c₁ +c₂ .

Для последовательности с условиями f(0) = 0, f(1) = 1 получим

c₁ +c₂ = 0, c₁ +c₂ = 1,

т.е. . Таким образом,

u_n = .

Эта последовательность u₀ = 0, u₁ = 1, u₂ = 1, u₃ = 2, u₄ = 3, u₅ = 5, … отличается от последовательности чисел Фибоначчи сдвигом: f₀ = 1, f₁ = 2, f₂ = 3, f₄ = 5, … Таким образом, из формулы для u_n получаем

f_n = .

Это – формула Бине для чисел Фибоначчи.

§ 3. Решение линейных неоднородных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим теперь неоднородное линейное рекуррентное соотношение второго порядка с постоянными коэффициентами

f(n+2) = a₁f(n+1) + a₂f(n) + ⁿT_m(n),

где  – заданное комплексное число, T_m(x) = t_mx^m + … + t₁x + t₀ – известный многочлен степени m. Правую часть вида ⁿT_m(n), участвующую в этом соотношении, будем называть специальной.

Теорема (о частном решении линейного неоднородного рекуррентного соотношения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью). Для любого неоднородного линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами вида

f(n+2) = a₁f(n+1) + a₂f(n) + ⁿT_m(n),

где   C , T_m(x) = t_mx^m + … + t₁x + t₀ – многочлен степени m, существует частное решение вида v(n) = ⁿn^rS_m(n), где r – кратность корня  в характеристическом уравнении (x) = x² – a₁x – a₂ (т.е. r = 0, если  – не корень, r = 1, если  – один из двух различных корней, r = 2, если  – единственный двукратный корень характеристического уравнения), S_m(x) – некоторый многочлен степени не выше m: S_m(x) = s_mx^m + … + s₁x + s₀ .

Доказательство. Положим v(n) = ⁿn^r(s_mn^m + … + s₁n + s₀) и подберём числа s_m , … , s₀ так, чтобы получилось решение данного рекуррентного соотношения.

v(n + 2) – a₁v(n + 1) – a₂v(n) = ⁿ(t_mn^m + … + t₁n + t₀) 

 ⁿ⁺²(s_m(n+2)^m+r+s_m–1(n+2)^m+r–1+…+s₁(n+2)^1+r+s₀(n+2)^r) –

– a₁ⁿ⁺¹( s_m(n+1)^m+r+s_m–1(n+1)^m+r–1+…+s₁(n+1)^1+r+s₀(n+1)^r) +

+ a₂ⁿ( s_mn^m+r+s_m–1n^m+r–1+…+s₁n^1+r+s₀n^r) =

= ⁿ(t_mn^m + … + t₁n + t₀)  {: ⁿ  0} 

 ²(s_m(n+2)^m+r+s_m–1(n+2)^m+r–1+…+s₁(n+2)^1+r+s₀(n+2)^r) –

– a₁( s_m(n+1)^m+r+s_m–1(n+1)^m+r–1+…+s₁(n+1)^1+r+s₀(n+1)^r) +

+ a₂( s_mn^m+r+s_m–1n^m+r–1+…+s₁n^1+r+s₀n^r) =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀ 

 s_m[²(n+2)^m+r – a₁(n+1)^m+r – a₂n^m+r] + …

… + s_i[²(n+2)^i+r – a₁(n+1)^i+r – a₂n^i+r] + …

… + s₀[²(n+2)^r – a₁(n+1)^r – a₂n^r] =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀ .

Рассмотрим три возможные случая, обозначенные в теореме:

1.  – не корень характеристического уравнения. Тогда r = 0, и последнее соотношение приобретает следующий вид:

s_m[²(n+2)^m – a₁(n+1)^m – a₂n^m] + …

… + s_i[²(n+2)ⁱ – a₁(n+1)ⁱ – a₂nⁱ] + …

… + s₀[²(n+2)⁰ – a₁(n+1)⁰ – a₂n⁰] =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀  {бином Ньютона} 

 s_m[²(n^m+ n^m–12+…+ n2^m–1+2^m) – a₁(n^m+ n^m–1+…+ n+1)–a₂n^m]+ …

… + s_i[²(nⁱ+ n^i–12+…+ n2^i–1+2ⁱ) – a₁(nⁱ+ n^i–1+…+ n+1) – a₂nⁱ] + …

… + s₀[² – a₁ – a₂] = t_mn^m + … + t₁n + t₀ 

 s_m[(²–a₁–a₂)n^m +(² 2 – a₁ )n^m–1 +...+(²2^m – a₁)]+ …

… + s_i[(²–a₁–a₂)nⁱ +(² 2 – a₁ )n^i–1 +...+(²2ⁱ – a₁)]+ …

…+ s₀[² – a₁ – a₂] = t_mn^m + … + t₁n + t₀ .

Для определения чисел s₀ , s₁ , … , s_m приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n, получив систему уравнений:

из которой последовательно и однозначно находятся все числа s_m , s_m–1 , … , s₀ .

2.  = ₁  ₂ – простой корень характеристического уравнения. Тогда r = 1, и исследуемое соотношение приобретает следующий вид:

s_m[²(n+2)^m+1 – a₁(n+1)^m+1 – a₂n^m+1] + …

… + s_i[²(n+2)ⁱ⁺¹ – a₁(n+1)ⁱ⁺¹ – a₂nⁱ⁺¹] + …

… + s₀[²(n+2)¹ – a₁(n+1)¹ – a₂n¹] =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀  {бином Ньютона} 

 s_m[²(n^m+1+ +2^m+1) – a₁(n^m+1+ +1) – a₂n^m+1] + …

… + s_i[²(nⁱ⁺¹+ +2ⁱ⁺¹) – a₁(nⁱ⁺¹+ +1) – a₂nⁱ⁺¹] +…

… + s₀[²(n+2) – a₁(n+1) – a₂n] =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀ 

 s_m[(² – a₁ – a₂)n^m+1+ + (²2^m+1 – a₁)] + …

…+s_i[(² – a₁– a₂)nⁱ⁺¹+ + (²2ⁱ⁺¹ – a₁)] + …

… + s₀[(² – a₁ – a₂)n + ²2 – a₁] = t_mn^m + … + t₁n + t₀ .

Учитывая, что ² – a₁ – a₂ = 0 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях, получим

.

Здесь ²2 – a₁  0 поскольку   0 (иначе a₂ = 0) и 2 – a₁  0 (иначе было бы ₁ = ₂). Поэтому из этой системы последовательно и однозначно находятся все числа s_m , s_m–1 , … , s₀ .

3. ₁ =  = ₂ . Тогда r = 2, a₁ = 2 , a₂ = ² . Исследуемое соотношение в этом случае приобретает следующий вид:

s_m[²(n+2)^m+2 – a₁(n+1)^m+2 – a₂n^m+2] + …

… + s_i[²(n+2)ⁱ⁺² – a₁(n+1)ⁱ⁺² – a₂nⁱ⁺²] + …

… + s₀[²(n+2)² – a₁(n+1)² – a₂n²] =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀ t₀  {бином Ньютона} 

 s_m[²(n^m+2+ +2^m+2) – a₁(n^m+2+ +1) – a₂n^m+2] + …

… + s_i[²(nⁱ⁺²+ +2ⁱ⁺¹) – a₁(nⁱ⁺²+ +1) – a₂nⁱ⁺²] +…

… + s₀[²(n² +4n + 4) – a₁(n² + 2n + 1) – a₂n²] =

= t_mn^m + … + t₁n + t₀ 

 s_m[(² – a₁ – a₂)n^m+2+ + (²2^m+2 – a₁)] + …

…+s_i[(² – a₁– a₂)nⁱ⁺²+ + (²2ⁱ⁺² – a₁)] + …

… + s₀[(² – a₁ – a₂)n² + (²4 – a₁2)n + ²4 – a₁] = t_mn^m + … + t₁n + t₀ .

Учитывая, что ² – a₁ – a₂ = 0, a₁ = 2 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях, получим

.

Здесь ²2² – a₁  0 поскольку   0 (иначе a₂ = 0) и 2² – a₁  0 поскольку a₁ = 2. Поэтому из этой системы последовательно и однозначно находятся все числа s_m , s_m–1 , … , s₀ .

Теорема доказана.