§ 4. Подмножества конечных множеств и сочетания

Если A = {a₀ , … , a_n–1 } – конечное множество из n элементов, то символом В(А) будем обозначать булеан множества A, т.е. множество всех подмножеств множества А. Для того, чтобы поближе познакомиться с булеаном, рассмотрим следующую задачу: как перечислить все элементы булеана В(А) конечного n-элементного множества А = {a₀ , … , a_n–1} ? Для бесконечных множеств булеан, очевидно, тоже бесконечен и поэтому менее обозрим, нежели в конечном случае.

Каждому подмножеству X  A сопоставим n-значное двоичное число (X) = _n–12^n–1+…+₀2⁰ = ( )₂ с цифрами _i  {0, 1} (0  i  n–1), однозначно определяющее это подмножество. Вместо двоичного числа в этих рассуждениях можно рассматривать и просто набор (X) = (_n–1 ; … ; ₀) длины n из нулей и единиц. Итак, положим (0  i  n–1). Кстати, именно такой способ интерпретации множеств реализуется в некоторых языках программирования.

Примеры. 1. Если A = {a₀ , a₁ , a₂} и X = {a₀ , a₂}, то (X) = 101₂ = 5, а если X = {a₁ }, то (X) = 010₂ = 2. Вообще, можно составить полный список подмножеств множества А:

Количество элементов	Подмножество X	(X)
0		0002 = 0
1	{a2 }	1002 = 4
	{a1 }	0102 = 2
	{a0 }	0012 = 1
2	{a1 , a2 }	1102 = 6
	{a0 , a2 }	1012 = 5
	{a0 , a1 }	0112 = 3
3	{a0 , a1 , a2 }	1112 = 7

Видно, что значения (X) пробегают всё множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, и В(А) состоит из восьми элементов.

2. Перечислить все подмножества четырёхэлементного множества A = {a₀ , a₁ , a₂ , a₃ }.

Будем перечислять подмножества, выписывая соответствующие им наборы из нулей и единиц:

№	набор	подмножество
0	(0, 0, 0, 0)	
1	(0, 0, 0, 1)	{a0 }
2	(0, 0, 1, 0)	{a1 }
3	(0, 0, 1, 1)	{a1 , a0 }
4	(0, 1, 0, 0)	{a2 }
5	(0, 1, 0, 1)	{a0 , a2 }
6	(0, 1, 1, 0)	{a1 , a2 }
7	(0, 1, 1, 1)	{a0 , a1 , a2 }
8	(1, 0, 0, 0)	{a3 }
9	(1, 0, 0, 1)	{a0 , a3 }
10	(1, 0, 1, 0)	{a1 , a3 }
11	(1, 0, 1, 1)	{a0 , a1 , a3 }
12	(1, 1, 0, 0)	{a2 , a3 }
13	(1, 1, 0, 1)	{a0 , a2 , a3 }
14	(1, 1, 1, 0)	{a1 , a2 , a3 }
15	(1, 1, 1, 1)	{a0 , a1 , a2 , a3 }

В общем случае наименьшее значение (X), очевидно, равно 0…0₂ = 0 для множества X = , а наибольшее значение равно 1…1₂ = 12^n–1+…+12⁰ = = 2^n–1+…+ 2+1 = = 2ⁿ – 1 при X = {a₀ , … , a_n–1 } = A. Таким образом построена функция  : В(A)  {0, 1, … , 2ⁿ – 1}. Докажем, что она биективна.

Инъективность:  X₁ , X₂  В(А) (X₁) = (X₂)  X₁ = X₂ . Действительно, если = (X₁) = (X₂) = , то ₀ = ₀ , … , _n–1 = _n–1 . Поэтому для любого элемента a_i  A верно a_i  X₁  _i = 1  _i = 1  a_i  X₂ и значит, множества X₁ и X₂ состоят из одних элементов, т.е. равны.

Сюръективность:  n  {0, 1, … , 2ⁿ–1}  X  В(А) (X) = n. Действительно, по любому двоичному числу n = образуем множество X по правилу a_i  X  _i = 1 (0  i  n–1). Ясно, что (X) = = n.

Теорема (о нумерации подмножеств конечного множества). (1) Существует биективное соответствие f : В(A)  {0, … , 2ⁿ – 1} между всеми подмножествами конечного множества A = {a₁ , … , a_n} из n элементов и интервалом целых чисел 0 .. 2ⁿ – 1.

(2) Существует биективное соответствие f : В_m(A)  B_m  {0, … , 2ⁿ–1} между всеми m-элементными подмножествами конечного множества A = {a₁ , … , a_n} из n элементов и всеми целыми числами диапазона 0 .. 2ⁿ – 1, имеющими в своей двоичной записи ровно m единиц (и n–m нулей).

Следствие (о количестве наборов из нулей и единиц длины n). Количество всевозможных наборов из нулей и единиц длины n равно 2ⁿ .

Доказательство следствия очевидно, т.к. количество всевозможных наборов из нулей и единиц длины n равно количеству чисел от 0 до 2ⁿ – 1, т.е. 2ⁿ.

Следствие доказано.

Следствие (о количестве подмножеств n-элементного множества). Любое n-элемен­тное множество содержит 2ⁿ подмножеств.

Доказательство. Построенное выше взаимно однозначное отображение  : В({a₀ , … , a_n–1})  {0, 1, … , 2ⁿ – 1} показывает, что количество элементов в В({a₀ , … , a_n–1}) равно количеству элементов в {0, 1, … , 2ⁿ – 1}, т.е. 2ⁿ .

Если A = {a₁ , … , a_n } – конечное множество из n элементов, то сочетанием (или выборкой) из n объектов a₁ , … , a_n по k штук (сочетанием из n по k) называется произвольное k-элементное подмножество  A. Количество всех сочетаний из n по k обозначается .

Теорема (о перечислении сочетаний). Существует взаимно однозначное соответствие между всеми сочетаниями из n элементов конечного множества A = {a₁ , … , a_n} по m и всеми целыми числами диапазона 0 .. 2ⁿ – 1, имеющими в своей двоичной записи ровно m единиц (и n–m нулей).

Следствие (о количестве всех сочетаний из n элементов). Общее количество всех сочетаний из n элементов по всем m (0  m  n) равно 2ⁿ .

Имея алгоритм перечисления всех подмножеств множества A, легко понять, как получить алгоритм перечисления сочетаний. Нужно среди всех наборов из нулей и единиц длины n отобрать наборы ровно с k единицами и построить по ним соответствующие k-элементные множества.

Пример: Выписать все сочетания из четырёх элементов по два для множества A = {1, 2, 3, 4}.

Среди всех наборов из нулей и единиц, перечисленных выше, отбираем только те, которые содержат 2 единицы и 4 нуля:

№	набор	сочетание
1	(0, 0, 1, 1)	{1, 2}
2	(0, 1, 0, 1)	{1, 3}
3	(0, 1, 1, 0)	{2 , 3}
4	(1, 0, 0, 1)	{1, 4}
5	(1, 0, 1, 0)	{2, 4}
6	(1, 1, 0, 0)	{3, 4}

Вычислим теперь количество сочетаний из n по k. Ясно, что результат не зависит от конкретной природы элементов множества A. Поэтому будем считать, что множество A состоит из n независимых переменных. Для произвольных a₁ , … , a_k  A рассмотрим произведение (1+a₁x)(1+a₂x)…(1+a_nx). Если раскрыть скобки, то в полученной сумме мономов (без приведения подобных) моном степени s получается при перемножении произвольно выбранных s элементов , где i₁ < i₂ < … < i_s . Таким образом, коэффициент при таком мономе соответствует выбору сочетания { }, причём это соответствие взаимно однозначно, т.к. множество { } однозначно определяется элементами и не зависит от порядка их перечисления. После приведения подобных при x^s будет стоять коэффициент, равный сумме всех произведений вида , а количество таких слагаемых в точности равно количеству сочетаний из n по s.

(1+a₁x)(1+a₂x)…(1+a_nx) =

= 1 + (a₁+…+a_k)x+(a₁a₂+a₁a₃+…+a_k–1a_k)x² + …

… +(a₁…a_n–1+…+a₂…a_n)x^n–1 + a₁…a_nxⁿ .

Если теперь подставить a₁ = a₂ = … = a_n = 1, то, с одной стороны, при x^k получится количество сочетаний из n по k, а с другой, – мы придём к формуле бинома Ньютона:

(1 + x)ⁿ = 1+nx+ x² + … + x^k + … +nx^n–1+xⁿ .

Следовательно, – биномиальный коэффициент, который равен количеству сочетаний из n элементов по k.

Из формулы бинома Ньютона немедленно получаются следующие полезные равенства:

Кроме того, – известные свойства биномиальных коэффициентов.

Отметим ещё раз связь между размещениями, сочетаниями и перестановками. Сочетание из n по k отличается от размещения без повторений тем, что для сочетания не важен порядок элементов. Поэтому, произвольным образом переставляя элементы размещения, будем получать одно и то же сочетание. Количество перестановок рассматриваемого сочетания равно k ! , так что одному сочетанию соответствует k ! размещений. Поэтому .