§ 6. Некоторые примеры применения производящих функций

I. Вычисление частичных сумм последовательностей. Пусть задана последовательность {u_n} с производящей функцией u(x) = . Найдём производящую функцию s(x) последовательности {s_n} её частичных сумм, где s_n = u₀ + … + u_n .

Имеем s(x) = s₀ + s₁x + s₂x² +… = u₀ + (u₀+u₁)x + (u₀ + u₁ + u₂)x² +… = = u₀ + u₁x + u₂x² + … + u₀x + (u₀ + u₁)x² +… = u(x) + s(x)x. Отсюда получаем (1 – x)s(x) = u(x), и окончательно s(x) = .

Знание производящей функции, как было показано ранее, позволяет находить формулы для членов последовательностей. Таким образом, открывается путь для задания формулами частичных сумм последовательностей.

Пример. Пусть u_n = n (n  N₀). Тогда u(x) = =

.

Поэтому s(x) = . Если учесть, что

(1 – y) ^–r = 1+ry+ ·y² + … = ,

то полученная формула записывается в виде ряда

.

Таким образом, s_n = , т.е. 1+2+…+n = .

2. Доказательство некоторых тождеств. Рассмотрим известную формулу бинома Ньютона: . Сумму в правой части можно рассматривать как производящую функцию последовательности , где для i  n, и при i > n. Тогда, с одной стороны,

,

а с другой – справедливо равенство

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в полученных формулах, приходим к соотношению , в котором, как и выше, считается, что при i > n.

Таким образом, производя алгебраические действия с производящими функциями, можно получать нетривиальные соотношения для членов изучаемых последовательностей.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

2. Асеев. Дискретная математика: Учеб. пособие – Ростов н / Д.: Феникс, 2003.

3. Виленкин Н.Я. Элементы комбинаторики. – М.: Наука, 1969.

4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. Учеб. пособие. – М.: Физматлит, 2004.

5. Журавлёв Ю.И. и др. Сборник задач по дискретному анализу. Комбинаторика. Элементы алгебры и логики. Теория графов. – М.: МФТИ-рио, 2004.

6. Зыков А.А. Основы теории графов: Учебник. – М.: Вузовская книга, 2004.

7. Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике. – М.: МПГУ, 1997.

8. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2002.

9. Редькин Н.П. Дискретная математика. – СПб.: Издательство “Лань”, 2006.

10. Холл М. Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.

11. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Высш. шк., 2006.

70