25 Дифференциальные уравнения и их типы

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y⁽ⁿ⁾(x) до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

 или  ,

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

Основные типы дифференциальных уравнений

Все дифференциальные уравнения делятся на два основных типа: обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной (скалярной), и уравнения в частных производных, или уравнения математической физики — с неизвестной функцией, зависящей от нескольких переменных (или, что то же, от одной, но векторной переменной). Сама искомая функция также может принимать векторные значения — тогда для ее координат уравнение переписывается в виде системы.

Специальный раздел дифференциальных уравнений посвящен уравнениям с запаздывающим (или, вообще, с отклоняющимся) аргументом, к которым сводятся некоторые прикладные задачи, учитывающие эффект запаздывания срабатывания исполнительного устройства. В таких уравнениях производная решения в точке t выражается через значение решения не в той же точке, а в точке  t-τ: 

.

Решением дифференциального уравнения называется функция, определенная в некоторой области (в случае функции одной переменной — на интервале) и обращающая это уравнение в тождество, для чего она должна быть дифференцируемой достаточное число раз. Нередко решение такого уравнения называют интегралом, а нахождение всех его решений — интегрированием дифференциального уравнения.

Когда уравнение, используемое для описания реального процесса, уже выведено, возникает вопрос о постановке задачи для этого уравнения, имеющей однозначное решение.

Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет, как правило, целое семейство решений. Из них выбирают то решение, которое удовлетворяет определенным дополнительным условиям. Так, в случае тела, движущегося под действием данной силы, основываясь на механических соображениях, можно фиксировать решение, задав его начальное положение x(0)=x₀ и начальную скорость  .

Аналогичные задачи ставятся и для уравнений в частных производных. Так, волновое уравнение в ограниченном водоеме круглой формы приводит к следующим условиям

где последняя производная берется по направлению нормали ν к границе единичного круга в ее точке (x, y). Эта задача называется смешанной, так как она имеет как начальные (при t=0 ) условия, так и краевые (на границе области x₂+y₂=1).