Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил

1. Изменение главного момента при перемене центра приведения

Пусть система сил приведена к центру O и получены в этой точке вектор и главный момент (рис. 24). Выберем в качестве цента приведения другую точку и вычислим момент рассматриваемой системы сил.

Силу из точки перенесем в точку . Получим в этой точке силу и, согласно теореме о параллельном переносе силы, присоединенную пару сил с векторным моментом .

Векторный момент пары сил , вычисленный относительно точки как вектор свободный, можно приложить в любой точке тела. Перенесем в точку

По формуле для векторного момента силы имеем

С учетом этого формула примет вид

Итак, момент системы сил при перемене центра приведения изменяется на векторный момент главного вектора , приложенного старом центре приведения, относительно нового центра приведения .

2. Инвариантные системы сил

Инвариантами в статике называются такие величины для рассматриваемой системы сил, которые не изменяются при изменении центра приведения. Одним из инвариантов является главный вектор

Главный вектор системы сил является векторным инвариантом. Для получения второго, скалярного, инварианта используем

Умножая обе части этого равенства скалярно на , причем в правой части при умножении вместо , возьмем ,получим

или

так как

Скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от центра приведения. Второй инвариант можно выразить в формуле:

где -угол между векторами и , а -между и (рис. 25). После сокращения на получим

Проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от центра приведения.

3. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Произвольная система сил приводится к силе, равной главному вектору , и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту .

Приведение к паре сил. Если , то система сил приводится к одной паре сил, причем главный момент в этом случае, не зависит от выбора центра приведения. В рассматриваемом случаи оба инварианта системы сил равны нулю, т.е.

Приведение к равнодействующей. Возможны два случая:

1. Если (первый инвариант , второй ),то система приводится к равнодействующей силе , равной по модулю и направлению главному вектору , т. е. =

2. , ,но ,т.е. (первый инвариант , второй ), то система сил тоже приводится к равнодействующей, причем опять =

Но линия действия равнодействующей силы отстоит от центра приведения на расстоянии (рис. 26)

П риведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силы и пары сил ( ) действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил (рис 27). Используя векторный момент пары сил , можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил

Р ассмотрим теперь случай, в котором и векторы не перпендикулярны. В этом случае оба инварианта не равны нулю, т. е.

Покажем, что система сил в этом случае приводится к динаме, причем элементами динамы являются сила и момент пары L₁, = L_o COS α, где α - угол между векторами

Действительно, после приведения системы сил к центру О получим главный вектор R и главный момент . Косинус утла а между ними можно определить выражая скалярное произведение векторов в двух формах:

I

Разложим главный момент на две взаимно перпендикулярные составляющие и , одна из

которых направлена по главному вектору (рис 28). Имеем

Векторный момент пары сил перпендикулярен главному вектору . Такая система силы и пары с моментом приведется к одной силе , линия действия которой находится от точки О на расстоянии I

Рассматриваемая система сил заменилась эквивалентной системой сил. I

состоящей из силы и пары сил с векторным моментом , который как свободный вектор можно перенести из точки О в любую точку, в том числе и в точку О₁ на линии действия силы . To есть

причем система сил является динамой. Сила и векторный момент пары есть элементы динамы:

Линия, по которой направлена сила динамы, , называется центральной винтовой осью. Во всех точках винтовой оси, принятых за центры приведения, система сил приводится к одной и той же динаме. Расстояние от центра приведения О до центральной винтовой оси

Если брать за центры приведения точки на поверхности цилиндра, осью которого является центральная винтовая ось, то главные моменты относительно таких центров будут одинаковы по модулю и составляют одинаковый угол с образующими цилиндра. Эти главные моменты состоят из одного и того же момента входящего в состав динамы, и моментов перпендикулярных и по числовой величине пропорциональных расстоянию центра приведения от центральной винтовой оси.

Совокупность сил, образующих динаму, можно заменить двумя скрещивающимися силами. Для этого следует одну из сил пары совместить с точкой приложения силы и сложить с этой силой (рис. 29).

Рассмотрены все возможные случаи, кроме случая равновесия системы сил ( ), рассмотренного ранее. Таким образом, убедились, что только при обращении в нуль главного вектора и главного момента система может находиться в равновесии, т. е. обращение в нуль главного вектора и главного момента не только необходимо для равновесия системы сил, но и достаточно.