3.Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость

Пару сил, не изменяя ее деяствия, можно перенести из одной плоскости в другую, паралелльную ей. (рис. 12).

К паре сил в точках и , где перпендикуляры, опущенные из точек А и В плоскости , пересекаются параллельной ей плоскостью , приложим две системы сил и , каждая из которых эквивалентна нулю, т. е.

; .

Выберем силы и так, чтобы они удовлетворяли условиям

; .

Сложим две paвныe и параллельные силы и . Их равнодействующая параллельна этим силам, равна их сумме и приложена посередине отрезка в точке О, так как складываются равные параллельные силы. Равнодействующая двух равных параллельных сил и тоже равна их сумме, параллельна им и приложена на середине отрезка , т. е. в точке О, где пересекаются диагонали прямоугольника

Рис. 12

Так как , то система сил эквивалентна нулю и ее можно отбросить.

Таким образом, пара сил эквивалентна такой же па­ре сил , но лежащей в другой, параллельной плоскости. Пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из одной плоскости в другую, параллельную ей.

4. Векторный момент пары сил

Векторным моментом пары сил назовем вектор, числовое значение которого равно произведению силы пары на ее плечо. Векторный момент пары сил направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил так, чтобы с его направления можно было видеть стремление пары сил вращать тело против часовой стрелки.

Векторный момент пары сил можно выразить в виде векторного произведения двух векторов:

5. Эквивалентность пар сил

Векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор.

Две пары сил, действующие на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению векторные моменты.

6. Теорема о сумме моментов сил пары

Сумма векторных моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора точки и равна векторному моменту этой пары сил, т.е. для пары сил

,

где О-любая точка

так как для пары сил

выбора точки т. е. для пары

(3)

(3):

35

.

Но

и не зависит от выбора точки О ; следовательно,

Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой сила пары.

7. Сложение пар сил

При сложении двух пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, получается эквивалентная пара сил.

Пусть имеются две пары сил и (см. рис.), лежащие в пересекающихся плоско­стях.

Эти пары сил можно полу­чить из пар сил, как угодно рас­положенных в пересекающихся плоскостях, путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного измене­ния плеч и сил пар. Сложим силы в точках А и В по правилу параллелограмма. После сложения получим две силы и :

Силы и составляют пару сил, так как они приложены в разных точках и R= -R' как равнодействующие равных, но противоположных сил, образующих пары сил.

Обозначим векторный момент пары сил ( , ) . Тогда

.

Учитывая, что

где и - векторные моменты заданных пар сил и , имеем

т. е. векторный момент эквивалентной пары сил равен сумме векторных моментов заданных пар.

8. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПАР СИЛ

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраичес­кая сумма проекций векторных моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

В общем случае пары сил можно уравновесить только парой сил.

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЕ.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

1. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К СИЛЕ И ПАРЕ СИЛ

Приведение силы к заданному центру

Силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твердого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки ,куда переносится сила.

Докажем, что силу можно пере­носить на другую, параллельную линию дей­ствия. Но этот перенос следует компенсиро­вать добавлением соответствующей пары сил. Приложим в точке тела В, выбранной за центр при ведения, систему двух равных по модулю, но противоположенных по направлению сил и , параллельных заданной силе . Силы и составляют систему сил, эквивалентную нулю, и ее можно добавить к любой заданной системе сил.

Пусть по модулю

= = .

Тогда

~( , , )~{ ,( , )} .

Система двух равных по модулю и противоположных по направлению параллельных сил ( , ) составляет пару сил, которую называют присоединительной парой сил.

Итак, вместо силы , приложенной в точке А, получены сила , равная ей по модулю и направлению, но приложенная в точке В, и присоединенная пара сил ( , ), векторный момент которой

Процесс замены силы силой и парой сил ( , ) называют приведением силы к заданному центру В. По теореме об эквивалентности пар сил пару ( , ) можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.