- •Теоретическая механика
- •Статика
- •Глава 1 основные понятия и аксиомы. Сходящиеся силы
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Аксиомы статики
- •3. Простейшие теоремы статики
- •4. Система сходящихся сил
- •У Рис. 6 словия равновесия системы сходящихся сил
- •Проецирование силы на оси координат
- •Глава 2 моменты силы относительно точки и оси
- •1. Алгебраический момент силы относительно точки
- •2. Векторный момент силы отосительно точки
- •3. Момент силы относительно оси
- •Глава 3 теория пар сил
- •1. Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •2. Теорема об эквивалентости двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •3.Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость
- •4. Векторный момент пары сил
- •5. Эквивалентность пар сил
- •6. Теорема о сумме моментов сил пары
- •7. Сложение пар сил
- •Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •Плоская система сил. Теорема вариньона
- •1. Частные случаи приведения плоской системы сил Случай приведения к равнодействующей силе
- •2.Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема вариньона)
- •1. Трение скольжения
- •Законы Кулона
- •Угол и конус трения
- •Равновесие тела на шероховатой поверхности
- •Трение качения
- •Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил
- •Изменение главного момента при перемене центра приведения
- •Инвариантные системы сил
- •Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •4. Уравнение центральной винтовой оси
- •5. Частные случаи приведения пространственной
- •6. Центр системы параллельных сил
- •Центр тяжести
- •2 . Методы определения центров тяжести (центров масс)
- •1. Метод симметрии
- •2. Метод разбиения на части (метод группировки).
- •3. Метод отрицательных масс
Центр тяжести
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ.
Центром тяжести тела называют центр системы параллельных сил. которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц.
Радиус-вектор центра тяжести тела вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил по формуле:
(1)
где - радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; - сила тяжести элементарной частицы; , - сила тяжести всего тела; n-число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.
Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей n до бесконечности, то после замены дифференциалом dP, а суммы - интегралом получим:
(1’)
где - радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1’) получаем:
, , ,
, ,
где , , - координаты центра тяжести: , , - координаты точки приложения силы тяжести Используя понятие центр тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела можно выразить через их массы . и М и ускорение силы тяжести g с помощью формул
Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1*) после сокращения на g, которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем
(2) И соответственно (1’)
По формулам (2) и (2’) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор которой вычисляется по формулам (2) или (2'). В проекциях на оси координат из (2) и (2') получаем:
, , ,
, ,
где , , ‑ координаты центра масс тела.
Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам
,
где - объем элементарной частицы тела; и - соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела
,
где - объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2'), после сокращения на и соответственно получим формулы
,
по которым определяют центр тяжести объёма тела.
Если тело имеет форму поверхности, т.е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у гонкого листа железа, то имеем
,
где - удельный вес: - площадь элементарной частицы поверхности; S-площадь всей поверхности. После сокращения на для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:
,
Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам
,
где - длина элемента линии: - общая длина линии, центр тяжести которой определяется.