І.3. Перелік дисциплін, засвоєння яких необхідно студентам для вивчення даної дисципліни

№ п/п

Розділи курсу і теми лекцій

Кількість годин

Семестр

І

Вступ до чисельних методів.

4

V

І.1

Математичні моделі і чисельні методи:

І.1.1. Етапи розв’язування задачі на ЕОМ.

І.1.2. Математичне моделювання. Поняття про обчислю­вальний експеримент.

І.1.3. Методи розв’язування математичних задач.

І.1.4. Чисельні методи. Вимоги до чисельних методів.

1

V

І.2

Похибка результату чисельного розв’язування задачі:

І.2.1. Джерела і класифікація похибок..

І.2.2. Похибки наближених чисел. Запис наближених чисел. Правила округлення.

І.2.3. *Похибки функцій.

І.2.4. Обернена задача теорії похибок.

І.2.5. *Поняття про ймовірнісну оцінку похибки.

І.2.6. Обчислення без точного врахування похибки.

І.2.7. Дослідження накопичення похибок округлень при виконанні арифметичних дій на прикладі обчислення сум і добутку чисел.

2

V

І.3

Округлення чисел в ЕОМ:

І.3.1. Подання дійсних чисел в ЕОМ. Округлення чисел в ЕОМ. Оцінка похибок округлень. Деякі способи зменшення обчислювальних похибок.

І.3.2. Стійкість. Коректність. Приклади задач, які чутливі до похибок вхідних даних. *Приклади нестійких методів (алгоритмів). Поняття збіжності.

1

V

ІІ

Чисельні методи алгебри.

18

V

ІІ.1

Розв'язування нелінійних рівнянь з одним невідомим:

ІІ.1.1. Задача відокремлення коренів.

ІІ.1.2. Задача уточнення кореня. Оцінка для наближень до кореня.

ІІ.1.3. Метод поділу відрізка навпіл та його збіжність. Оцінка точності.

ІІ.1.4. Метод хорд. *Оцінка точності.

ІІ.1.5. Метод Ньютона та його збіжність. *Оцінка точності.

ІІ.1.6. Комбінований метод хорд і дотичних, модифікації методу Ньютона.

ІІ.1.7. Метод простої ітерації та його збіжність..

8

V

ІІ.2

Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь:

ІІ.2.1. Поняття про точні та наближені методи розв’язування систем лінійних рівнянь. Точні методи: метод Гаусса (його модифікації), формули Крамера, матричний спосіб, метод квадратних коренів для систем з симетричною матрицею.

ІІ.2.2. Жорданові виключення.

ІІ.2.3. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана-Гаусса та знаходження оберненої матриці.

ІІ.2.4.Iтерацiйнi методи для систем лiнiйних алгебраїчних рівнянь, достатні умови збіжності. *Стискуючі відображення.

ІІ.2.5. Метод Зейделя, умови збіжності.

ІІ.2.6. *Метод прогонки.

ІІ.2.7. *Методи розв'язування нелiнiйних систем.

8

V

ІІ.3

Системи лінійних алгебраїчних нерівностей. Задача лінійного програмування:

ІІ.3.1. Системи лінійних нерівностей. Геометрична інтерпретація розв’язку системи лінійних нерівностей. *Розв’язування систем лінійних нерівностей за допомогою жорданових виключень.

ІІ.3.2. Загальна задача лінійного програмування та її різновиди.

ІІ.3.3. Задача лінійного програмування та її геометричний зміст. Приклади задач ЛП.

ІІ.3.4.* Розв’язування задач ЛП симплексним методом.

ІІ.3.5. *Двоїсті задачі до задачі ЛП та їх розв’язання.

2

V

ІІI

Чисельні методи аналізу.

12

V

ІІІ.1

Наближення функцій. Інтерполяція.

ІІІ.1.1. Задача наближення функцій.

ІІІ.1.2. Iнтерполяцiйний многочлен у формі Лагранжа.

ІІІ.1.3. Iнтерполяцiйні многочлени у формі Ньютона (інтерполювання вперед та назад).

ІІІ.1.4. Оцінка похибки інтерполювання. *Оптимальний вибір вузлів інтерполювання.

ІІІ.1.5. Застосування iнтерполяцiї. Обернене інтер­полювання. Екстраполювання.

6

V

ІІІ.2

Апроксимація функцій.

ІІІ.2.1. Задача найкращого наближення. Поняття про рiвномiрне наближення функцій.

ІІІ.2.2. Середньоквадратичні наближення.

ІІІ.2.3. Найкраще наближення функцій, заданих таблично методом найменших квадратів.

ІІІ.2.4. Побудова емпіричних формул: підбір загального виду формули, визначення параметрів залежності.

ІІІ.2.5. Згладжування табличних функцій.

ІІІ.2.7. *Ортогональні многочлени. *Iнтерполяцiйнi та згладжуючi сплайни. Алгоритм побудови кубічних сплайнiв.

6

V

ІІI

Чисельні методи аналізу.

20

VІ

ІІІ.3

Чисельне диференціювання та інтегрування.

ІІІ.3.1. Чисельне диференціювання. Некоректність задачі чисельного диференціювання.

ІІІ.3.2. Використання інтерполяцiйних многочленів для побудови формул чисельного диференціювання. *Дослідження залежності похибок формул від кроку диференціювання.

ІІІ.3.3. Оцінка похибки чисельного диференціювання.

ІІІ.3.4. Задача чисельного інтегрування. Підходи до побудови квадратурних формул.

ІІІ.3.5. Оцінка похибки чисельного iнтегрування. Чисельна стійкість квадратурних формул.

ІІІ.3.6. Квадратурні формули Ньютона-Котеса:

• формули прямокутників (лівих, правих, середніх);

• формули трапецій;

• формули Сімпсона.

Оцінка залишкових членів.

ІІІ.3.7. *Квадратурні формули складеного типу. Принцип Рунге та апостерiорна оцінка похибки. Автоматичний підбір кроку інтегрування.

ІІІ.3.8. *Квадратурні формули Гаусса.

8

VІ

ІІІ.4

Чисельні методи розв'язування задачi Кошi.

ІІІ.4.1. Постановка задачі Коші. Теорема Пікара.

ІІІ.4.2. Наближені методи розв’язування задачі Коші.

ІІІ.4.3. Метод Ейлера та його модифікації: удосконалений метод Ейлера та метод Ейлера-Коші.

ІІІ.4.4. Метод Рунге-Кутта.

ІІІ.4.5. Метод Адамса.

ІІІ.4.6. Підходи до оцінки точності методів.

ІІІ.4.7. *Метод рядiв Тейлора.

ІІІ.4.8. *Методи з вибором кроку iнтегрування. Багато­кроковi методи. Стiйкiсть методiв розв'язування задачi Кошi.

ІІІ.4.9. *Методи iнтегрування жорстких систем.

8

VІ

IІІ.5

Методи розв'язування крайових задач.

ІІІ.5.1. Метод стрiльби.

ІІІ.5.2. Методи ортогональної прогонки.

ІІІ.5.3. Методи розв'язування нелiнiйних крайових задач: лiнеарiзацiї, продовження за параметром.

ІІІ.5.4. Рiзницевi схеми для рiвнянь другого порядку. поняття апроксимацiї, стiйкостi та збiжностi. Iнтегро-iнтерполяцiйний метод побудови рiзницевих схем.

4

VІ

Разом

54

№ п/п

Зміст лабораторних занять

Кількість годин

Семестр

V семестр

1

Похибка результату чисельного розв’язування задачі.

1. Абсолютна і відносна похибки.

2. Значущі та правильні цифри.

[7] № 1,2, гл. І.

2

V

2

Розв’язування рівнянь з одним невідомим.

1. Відокремлення коренів.

2. Уточнення коренів методом поділу відрізка навпіл.

3. Захист робіт.

[7] № 1, гл. V.

2

V

3

Розв’язування рівнянь з одним невідомим.

1. Відокремлення коренів.

2. Уточнення коренів методом хорд та методом дотичних.

3. Захист робіт.

[7] № 2, гл. V.

2

V

4

Розв’язування рівнянь з одним невідомим.

1. Відокремлення коренів.

2. Уточнення коренів комбінованим методом хорд та дотичних, методом січних та модифікованим методом Ньютона.

[7] № 3,4, гл. V.

2

V

5

Розв’язування рівнянь з одним невідомим.

1. Відокремлення коренів.

2. Уточнення коренів простої ітерації.

3. Захист робіт.

[7] № 5, гл. V.

2

V

6

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Метод Жордана-Гаусса та його модифікації.

2. Обчислення оберненої матриці.

3. Обчислення визначників.

[7] № 2,3,4, гл. ІІІ.

2

V

7

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Метод квадратного кореня.

2. Захист робіт.

[7] № 5, гл. ІІІ.

2

V

8

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Метод простої ітерації.

2. Метод Зейделя.

3. Захист робіт.

[7] № 8-9, гл. ІІІ.

2

V

9

Розв’язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Нелінійні рівняння та їх системи. Ітераційні способи розв’язування.

2. Захист робіт.

[7]

2

V

10

Системи лінійних алгебраїчних нерівностей. Задача лінійного програмування

1. Геометричне розв’язання задачі ЛП.

2. Захист робіт.

2

V

11

Наближення функцій.

1. Інтерполяційний поліном Лагранжа та оцінка похибки.

[7] № 1-2, гл. VIІ.

2

V

12-13

Наближення функцій.

1. Інтерполяційні поліноми Ньютона.

2. Захист робіт.

[7] № 3-4, гл. VIІ.

3

V

13-14

Чисельне диференціювання.

1. Обчислити першу та другу похідну функції, заданої таблично, оцінити похибку.

2. Захист робіт.

[7] № 1, гл. VIІІ.

3

V

15

Чисельне інтегрування.

1. Формули прямокутників: лівих, правих, середніх. Оцінка похибки. Подвійний підрахунок.

2. Формула трапецій. Оцінка точності.

3. Захист робіт.

[7] № 2,3, гл. VIІІ.

2

V

16

Чисельне інтегрування.

1. Формула Сімпсона.

2. Оцінка точності.

3. Захист робіт.

[7] № 3, гл. VIІІ.

2

V

Разом

32

V

1-2

Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь.

1. Метод Ейлера.

2. Модифіковані методи Ейлера та Ейлера-Коші.

3. Захист робіт.

[7] № 1-3, гл. ІХ.

3

VІ

2-3

Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь.

1. Метод Рунге-Кутта.

2. Оцінка точності.

3. Захист робіт.

[7] № 4, гл. ІХ.

3

VІ

4

Задача найкращого наближення.

1. Метод найменших квадратів.

2. Захист робіт.

2

VІ

5-6

Задача найкращого наближення.

1. Побудова емпіричних формул. Згладжування табличних функцій.

2. Захист робіт..

4

VІ

7

Інтерполювання сплайнами

1. Інтерполювання сплайнами.

2. Захист робіт

2

VІ

8

Підсумкове заняття

Захист робіт

VІ

Разом

16

VІ