Atomic physics (2005)
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Exercises for Chapter 7 |
149 |
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(7.6) The properties of some transitions in hydrogen |
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Show that the angular frequency ω at which |
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The table gives the values of A21 for transitions |
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this amplitude is maximum is very close to ω0 |
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from the n = 3 shell of hydrogen to lower levels. |
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for a narrow resonance. |
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(Spin and fine structure are ignored.) |
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(c) |
Show that the phase is given by |
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tan φ = |
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V |
= |
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βω |
. |
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Transition |
A21 (s−1) |
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U |
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ω2 − ω02 |
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6 |
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How does this phase vary as the angular fre- |
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2p–3s |
6.3 × 108 |
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quency ω increases from ω ω0 to ω ω0? |
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1s–3p |
1.7 × 107 |
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2s–3p |
2.2 × 107 |
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(d) |
For frequencies close to the atomic resonance |
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2p–3d |
6.5 × 10 |
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(ω ω0), show that your expressions for U |
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and V can be written in an approximate form |
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that agrees with eqns 7.58 and 7.59 (that were |
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(a) |
Draw an energy-level diagram for the n = 1, 2 |
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derived using the slowly-varying envelope ap- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
and 3 shells in hydrogen that shows the al- |
|
proximation in which the amplitude of the |
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|
lowed electric dipole transitions between the |
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driving force may change slowly over time). |
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orbital |
angular |
momentum |
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levels. |
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(Neglect |
(e) |
Show that in the steady state the power P ab- |
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|
transitions for which n does not change, e.g. |
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sorbed by the electron is a Lorentzian function |
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2s–2p.) |
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of ω: |
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1 |
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(b) |
Calculate the lifetimes of the 3s, 3p and 3d |
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P (ω − ω0)2 + (β/2)2 . |
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configurations. |
What fraction of atoms that |
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start in 3p end up in the 2s configuration? |
(7.8) |
Oscillator strength |
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(c) |
An electron in the 2p configuration has a life- |
This question |
shows the |
usefulness |
of a |
dimen- |
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|
time of only 1.6 ns. Why is this shorter than |
sionless parameter called the absorption oscillator |
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for the 3p configuration? |
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strength, denoted by f12. |
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(d) |
Calculate the radial matrix elements D12 |
in |
(a) |
Show that for the cross-section in eqn 7.79 we |
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units of a0 for the transitions in the table, and |
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have |
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for 1s–2p. |
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∞ |
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(e) |
Calculate I |
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for the 2p–3s and 1s–3p transi- |
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sat |
|
−∞ σ (ω) dω = 2π |
2 |
r0c f12 |
, |
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(7.96) |
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|
tions. |
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(7.7) The classical model of atomic absorption |
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where r |
= 2.8 |
× |
10−15 m |
and |
f |
= |
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20 |
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12 |
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(a) |
A simple classical model of absorption as- |
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2meωD12/(3 ). |
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sumes that an electron (in an atom) behaves |
(b) |
From the simple model of the atom as an os- |
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|
like a damped simple harmonic oscillator of |
|
cillating electron in Exercise 7.7, find the clas- |
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|
charge −e and mass me driven by the oscil- |
|
sical absorption cross-section σcl (ω) in terms |
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|
lating electric field of the radiation: E0 cos ωt. |
|
of β, ω0 and fundamental constants. |
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The electron’s equation of motion has the form |
(c) |
Without the driving electric field, the oscilla- |
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|
of eqn 7.55 with a driving force of constant |
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tor undergoes damped harmonic motion x = |
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amplitude F0 = −eE0. Find a solution of this |
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x0e−βt/2 cos (ω t |
− |
ϕ). The power radiated by |
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equation in the form x = |
U |
cos ωt |
− V |
sin ωt |
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an oscillating dipole leads to a decay rate given |
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(U and V are not functions of time in the case |
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by eqn 1.23 (from classical electromagnetism). |
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considered here). |
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Determine β. |
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(b) |
Show that the displacement of the electron has |
(d) |
Show that σcl (ω) integrated over all frequen- |
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|
an amplitude |
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F0/m |
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cies gives 2π2r0c. |
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U |
2 |
+ V |
2 |
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Comment. This classical |
value is the maxi- |
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= |
0 |
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(ω2 |
− |
ω02)2 |
+ (βω)2 |
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mum value for any transition, so f12 1. The |
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2 |
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−1/2 |
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absorption oscillator strength is a fraction of |
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F0 |
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2 |
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β |
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(ω − ω0) |
+ |
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. |
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the integrated cross-section associated with a |
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2mω |
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4 |
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given transition. |
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150 The interaction of atoms with radiation |
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(e) Calculate f12 for the 3s–3p transition of |
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Comment. An electric dipole does not radiate uni- |
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sodium. (A21 = Γ = 2π × 107 s−1.) |
|
|
formly in all directions but this does not matter |
|||||||||||||||||||||
|
(f) Calculate |
the absorption oscillator |
strength |
|
here; only a tiny fraction of the spontaneous emis- |
||||||||||||||||||||
|
|
sion goes along the direction of the incident beam. |
|||||||||||||||||||||||
|
for the 1s–2p and 1s–3p transitions in hydro- |
|
|||||||||||||||||||||||
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|
For example, in an experiment to measure the at- |
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|
gen using the data from Exercise 7.6(d). |
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tenuation of a laser beam as it passes through a |
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(7.9) |
Doppler broadening |
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|
gas cell, a negligible fraction of the light scattered |
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|
The Maxwell–Boltzmann distribution of the veloc- |
|
out of the beam falls on the photodetector that |
||||||||||||||||||||||
|
ities in a gas is a Gaussian function f (v), as de- |
|
measures the power after the sample. |
||||||||||||||||||||||
|
fined in eqn 8.3. |
|
Explain why for excitation by |
(7.12) |
The d.c. Stark e ect |
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monochromatic radiation of angular frequency ω |
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This exercise goes through a treatment of the d.c. |
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|
the population in the upper level is given by |
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|
Stark e ect for comparison with the a.c. Stark ef- |
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||||||||||||
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|
e |
2 |
|
2 |
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|
fect. |
|
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|
2 |
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X12 |
2 |
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||||
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|c2 (t)| |
= |
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|E (ω)| |
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||
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2 |
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(a) |
An atom with two levels of energies E2 > E1, |
|||||||||||||||
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|
∞ |
sin2 {(ω − ω0 + kv)t/2} |
|
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|||||||||||||||
|
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|
f (v) dv . |
|
|
and a separation of = E2 |
− |
E1 is placed in |
|||||||||||||
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× −∞ |
|
(ω − ω0 + kv) |
2 |
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||||||
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a static electric field. Show that the Hamilto- |
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|
Assuming that the sinc2 in the integrand acts like a |
|
|
nian for the system has the form |
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|
Dirac delta function (as explained in Section 7.2), |
|
|
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|
/2 |
|
V |
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||||||||||||||
|
show that |c2|2 is proportional to gD (ω) in eqn 8.4. |
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|
H = V |
|
|
/2 , |
||||||||||||||||||
|
Comment. |
|
Doppler broadening washes out the |
|
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− |
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||||||||||
|
Rabi oscillations because their frequency depends |
|
|
where the matrix element for the perturbation |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
V is proportional to the magnitude of the elec- |
||||||||||||||||||||||
|
on the velocity, giving an equation similar to that |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
tric field. Find the energy eigenvalues. The |
||||||||||||||||||||||
|
for broadband radiation. For all broadening mech- |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
two levels move apart as shown in Fig. 7.9— |
||||||||||||||||||||||
|
anisms Rabi oscillations, and other coherent phe- |
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
this is a general feature of systems where a |
||||||||||||||||||||||
|
nomena, are only seen on time-scales shorter than |
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
perturbation mixes the wavefunctions. |
||||||||||||||||||||||
|
the reciprocal of the line width. |
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||||||||||
(7.10) |
An example of the use of Fourier transforms |
|
(b) |
Show that ‘weak’ fields produce a quadratic |
|||||||||||||||||||||
|
|
Stark e ect on |
the atom, |
|
equivalent to the |
||||||||||||||||||||
|
Show that an oscillator whose amplitude decays |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
usual second-order perturbation-theory ex- |
||||||||||||||||||||||
|
exponentially according to x0e−βt/2 cos (ωt) radi- |
|
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||||||||||||||||||||||
|
ates with a Lorentzian power spectrum. |
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pression for a perturbation HI: |
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|||||||||||
(7.11) |
The balance between absorption and spontaneous |
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2 |
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|||||||||||
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∆E1 |
= |
− |
| 2| HI |1 | |
. |
|||||||||||||||||||
|
emission |
|
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||||||||||||
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E2 |
− |
E1 |
|
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|||||
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Explain why absorption and the population in the |
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|||||||||||||
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A similar expression can be found for the en- |
||||||||||||||||||||||
|
upper level are related by |
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||||||||||||||||||||
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|
ergy shift ∆E2 of the other level (in the oppo- |
||||||||||||||||||||
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|||||||||||
|
κ (ω, I) I = N2A21 ω = N ρ22A21 ω . |
(7.97) |
|
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site direction). |
|
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|
|
||||||||||
|
Show that this is consistent with eqns 7.87 and |
|
(c) |
Estimate the Stark shift for the ground state |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
of a sodium atom in a field of 106 V m−1 (e.g. |
||||||||||||||||||||||
|
7.69 for κ(ω, I) and ρ22, respectively. |
|
|
|
104 V between plates 1 cm apart). |
Web site:
http://www.physics.ox.ac.uk/users/foot
This site has answers to some of the exercises, corrections and other supplementary information.