1.7. Типы изоэдров

В этом разделе мы дадим общий обзор всевозможных изо-

эдров. Их удобно подразделить на следующие шесть типов.

1. Пирамиды. Возьмем одну из групп семейства вращающегося

конуса и зададим грань в произвольной ориентации относительно

оси п. Размножим эту грань действием оси. В итоге получим изо-

эдр, представляющий собой пирамиду с п гранями. На рис. 1.7.1

Рис. 1.7.1. Тетрагональная пира-

мида:

а — общий вид изоэдра, б — про-

екция

изображены в качестве примера четырехгранная (тетрагональная)

пирамида и ее гномостереографическая проекция. Названия я-гран-

ных пирамид таковы:

точечная группа 1 моноэдр

» » 2 диэдр (осевой)

» » 3 тригональная пирамида

50

точечная группа 4

» » 5

» » 6

тетрагональная пирамида

пентагональная пирамида

гексагональная пирамида

и т. д.

Очевидно, что моноэдр, т. е. изоэдр, содержащий лишь одну грань, фор-

мально можно назвать моногональной пирамидой, а диэдр, представляющий со-

бой пару пересекающихся граней, — дигональной пирамидой, но эти названия

обычно не употребляются.

В группах семейства неподвижного конуса грань, заданная в

произвольной ориентации, также порождает пирамиду, которая,

однако, в этом случае имеет 2п граней. Так, для группы 4mm по-

лучим восьмигранную (дитетрагональную) пирамиду (рис. 1.7.2).

Рис. 1.7.2. Дитетрагональная пирамида:

а — общий вид изоэдра, б — дитетрагон, в — проекция изоэдра

В отличие от тетрагональной пирамиды, в которой сечение, перпен-

дикулярное к оси п, представляет собой квадрат (правильный тст-

раюн), аналогичное сечение дитетрагональной пирамиды — это

восьмиугольник, в котором углы равны через один (дитетрагон).

Названия 2я-гранных пирамид:

точечная группа m диэдр (плоскостной)

2mm ромбическая пирамида

» » Зт дитригональная пирамида

» » 4mm дитетрагональная пирамида

» » 5т дипентагональная пирамида

» » 6mm дигексагональная пирамида

и т. д.

Диэдру, грани которого связаны плоскостью т, и ромбической пирамиде со-

ответствуют практически неупотребляемые формальные названия — димоного-

нальная и дидигональная пирамиды. Название «ромбическая» обусловлено тем,

что сечение изоэдра, перпендикулярное к оси 2, имеет форму ромба (рис. 1.7.3).

2. Призмы. ECJ.H в точечных группах тех же двух семейств —

семейств вращающегося и неподвижного конусов — задать грани,

параллельные поворотным осям симметрии, получим два ряда

призм, названия которых аналогичны названиям соответствующих

пирамид:

точечная группа 1 моноэдр (моногональная призма)

» » 2 пинакоид (дигональная призма)

» » 3 тригональная призма

» » 4 тетрагональная призма

и т. д.

» » т пинакоид (димоногональная призма)

» » 2mm ромбическая (дидигональная) призма

» » Зт дитригональная призма

» » 4mm дитетрагональная призма

и т. д.

Отсюда видно, что один и тот же изоэдр может фигурировать одновременно

в разных рядах (это относится к простейшим изоэдрам с небольшим числом гра-

ней). Так, пинакоид, представляющий собой пару параллельных граней, явля-

ется и дигональной и димоногональной призмой. Подобные примеры будут встре-

чаться и далее.

Рис. 1.7.3. Ромбическая пирамида-

а — общий вид изоэдра, б — про-

екция s

Г

Рис. 1.7.4. Призмы.

а — общий вид тетрагональной,

дитетрагональной и ромбической

призм, б — их проекции

На рис. 1.7.4 изображены некоторые призмы и их проекции.

3. Трапецоэдры. Изоэдр, грани которого занимают произволь-

ное положение по отношению к элементам симметрии одной из

групп семейства скрученного цилиндра, называется трапецоэдром.

Названия конкретных трапецоэдров таковы:

точечная группа 2

» » 222

» » 32

» » 422

» » 52

» » 622

диэдр (осевой)

ромбический тетраэдр

тригональный трапецоэдр

тетрагональный трапецоэдр

пентагональный трапецоэдр

гексагональный трапецоэдр

и т. д.

На рис. 1.7.5 показаны примеры трапецоэдров.

Осевой диэдр можно считать и дигональной пирамидой и моногональным

трапецоэдром, а ромбический тетраэдр с формальной точки зрения является ди-

гональным трапецоэдром.

4. Дипирамиды (бипирамиды). Изоэдры этого типа изображе-

ны на рис. 1.7.6. Они возникают при размножении грани, заданной

Рис. 1.7.5. Трапецоэдры:

а — общий вид тригонального

трапецоэдра и ромбического

тетраэдра, б — их проекции

Рис. 1.7.6. Дипирамиды:

а — общий вид тригональной, дитри-

гональной и ромбической дипирамид,

б — их проекции а $

в произвольной ориентации, элементами симметрии некоторых

точечных групп из семейств вращающегося и неподвижного ци-

линдров. Дадим перечень этих групп и названия соответствующих

дипирамид

53

точечная группа т

» » 2/w

3//п(6)

4/АП

ттт

диэдр (моногональиая дипирами-

да)

ромбическая призма (дигональ-

ная дипирамида)

тригональпая дипирамида

тетрагональная дипнрамида

и т. д.

ромбическая призма (димоного-

нальная дипирамида)

ромбическая (дидигональная) ди-

пирамида

» » 3/mm2(6/n2) дитригональыая дипирамида

» » 4/ттт дитетрагональная дипирамида

и т. д.

5. Антипризмы. Прочие группы семейства вращающегося ци-

линдра порождают изоэдры иного типа, называемые антиприз-

мами:

пинакоид (моногональная антипризма)

тетрагональный тетраэдр (дигональная

антипризма)

ромбоэдр (тригональная антипризма)

тетрагональная антипризма

пет атональная антипризма

и т. д.

Наиболее важные из этих антипризм изображены на рис. 1.7.7.

Среди групп низшей и средней категории нам осталось рас-

смотреть группы вида пт, где п — нечетное, и группы вида й2га,

где п = 41, из семейства неподвижного цилиндра. Задавая грань в

произвольном положении и размножая ее элементами симметрии,

мы получим еще один ряд изоэдров, которые также являются

антипризмами.

точечная группа 1

» » 4

» » 3

» » 8

» » 5

Точечная группа

Г/я (2/т)

42т

Зт

82т

5т

и т. д.

Название аптипризмы

димоногональная

дидигональная

дитригональная

дитетрагональная

дипентагональная

и т. д.

Кристаллографическое название

ромбическая призма

тетрагональный скаленоэдр

тригональный скаленоэдр

—

—

Примеры таких антипризм показаны на рис. 1.7.8.

Антипризмы симметрии 42т и Зт в кристаллографии обычно называют ска-

леноэдрами. Первый из них считается «тетрагональным», а второй —- «тригональ-

ньш>, что обусловлено принадлежностью точечных групп 42т и Зт к тетраго-

нальной сингонии и тригональной подсингонии соответственно (см. раздел 36).

54

Теперь нужно обратиться к изоэдрам, порождаемым точечными

группами высшей категории, ,но прежде введем некоторые допол-

нительные понятия и дадим комментарии к методике вывода все-

возможных изоэдров.

Во всех рассмотренных группах мы задавали исходную грань

в произвольной ориентации. Таким образом были получены изо-

эдры, которые являются общими для соответствующих точечных

Рис. 1.7.8. Антипризмы:

а — общий вид тетрагонального и

тригонального скаленоэдров, б — их

проекции

Рис. 1.7.7. Антипризмы:

а — общий вид тетрагонального

тетраэдра, ромбоэдра, тетрагональ-

а ^ ной антипризмы, б — их проекции

групп. Вместе с тем в каждой точечной группе (за исключением

групп 1 и 1) возможны специальные положения исходной грани

Размножая грань, которая занимает специальное положение от

носительно элементов симметрии, мы получим изоэдр, которы!

является частным для данной точечной группы.

Так, в группе 32 существуют следующие специальные положе

ния граней (рис. 1.7.9): 1) перпендикулярно оси 3, 2) перпендику

лярно оси 2, 3) параллельно оси 3, 4) перпендикулярно биссектри

се угла ос между двумя осями 2, 5) перпендикулярно плоскости

проходящей через ось 3 и ось 2, 6) перпендикулярно плоскости

проходящей через ось 3 и биссектрису угла а. При этом возникг

ют частные изоэдры (см. рис. 1.7.9). Как уже было сказано, об

щим изоэдром в данной группе является тригональный трапецо-

эдр. Кратность первого изоэдра равна 2, второго — 3, всех про-

чих — 6. На рис. 1.7.10 показано, как сочетаются некоторые из

этих изоэдров в конкретном многограннике — кристалле кварца.

В приведенном примере примечательны два обстоятельства.

Во-первых, кратность некоторых частных изоэдров равна кратно-

сти общего изоэдра (в отличие от того, что мы констатировали для

орбит). Во-вторых, все частные изоэдры группы 32 являются об-

щими для других точечных групп, все они фигурировали выше.

Рис. 1.7.9. Проекция изоэдров

группы 32.

1 — пинакоид, 2 — тригональ-

ная призма, 3 — дитригональ-

ная призма, 4 — гексагональ-

ная призма, 5 — дитригональ-

ная пирамида, б — ромбоэдр,

7 — тригональный трапецоэдр

Рис 1.7.10 Крис-

талл низкотемпера-

турного кварца

SiO2:

1 — гексагональ-

ная призма, 2 и

3 — ромбоэдры,

4 — тригональная

дипирамида, 5 —

тригональный тра-

пецоэдр

Если для групп низшей и средней категории наряду с общими

рассмотреть всевозможные частные случаи, то не обнаружится ни-

каких новых изоэдров. Таким образом, мы действительно получили

полный перечень изоэдров, которые могут встретиться в многогран-

никах, описываемых точечными группами низшей и средней кате-

гории.

6. Изоэдры высшей категории. Иная картина наблюдается в

группах высшей качторни. Здесь многообразие изоэдров отнюдь

не исчерпываете*1 л \,ором общих изоэдров.

На рис. 1.7.11 -1.7.15 изображены проекции частых и общих

изоэдров, порождаемых группами, которые содержит по четыре

оси 3. Для упрощения рисунков показан только один квадрант

стереографической проекции, другие квадранты нетрудно дорисо-

вать с учетом симметрии. В подрисуночных подписях даны назва-

ния изоэдров. Если исключить повторяющиеся случаи, получим

56

список, содержащий 15 изоэдров. Их удобно систематизировать

следующим образом:

1) тетраэдр и изоэдры, являющиеся его производными (рис. 1.7.16),

2) октаэдр и изоэдры, являющиеся его производными (рис. 1.7.17),

2-2 3-3

Рис. 1.7.11. Проекция изо-

эдров группы 23-

1 — куб, 2 — ромбододе-

каэдр, 3 — пентагондодека-

эдр, 4 — тетраэдр, 5 — три-

гонтритетраэдр, 6 — тетра-

гонтритетраэдр, 7 — пента-

гонтритетраэдр

Рис. 1.7.12. Проекция изоэдров

группы тЗ:

1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,

3 — пентагондодекаэдр, 4 —

октаэдр, 5 — тетрагонтриокта-

эдр, 6 — тригонтриоктаэдр, 7 —

дидодекаэдр

Рис. 1.7.13. Проекция изоэдров

группы 43/п:

1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,

3 — тетрагексаэдр, 4 — тетра-

эдр, 5—тригонтритетраэдр, 6—

тетрагонтритетраэдр, 7 — гек-

сатетраэдр

3-3 2-2 3-3

1

Рис. 1.7.14. Проекция изоэдров

группы 432:

1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,

3 — тетрагексаэдр, 4 — окта-

эдр, 5 — тетрагонтриоктаэдр,

6 — тригонтриоктаэдр, 7 —

пентагонтриоктаэдр

3) куб (гексаэдр) и тетрагексаэдр (рис. 1.7.18),

4) пентагондодекаэдр и дидодекаэдр (рис. 1.7.18),

5) ромбододекаэдр (рис. 1.7.18).

На рис. 1.7.19 изображен кристалл NaClO3, представляющий

собой комбинацию четырех изоэдров высшей категории.

Особняком стоят изоэдры, имеющие симметрию 25 и т5. Для

вывода таких изоэдров нужно рассмотреть возможные положения

нормалей к граням; при этом достаточно иметь в виду лишь одну

Рис. 1.7.15. Проекция изоэдров

группы m3m:

1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,

3 — тетрагексаэдр, 4 — ок-

таэдр, 5 — тетрагонтриокта-

эдр, б — тригонтриоктаэдр, 7 —

гексаоктаэдр

Рис 1.7.16. Изоэдры, выводимые из тетраэдра:

тетраэдр, тригонтетраэдр, тетрагонтритетраэдр, пентагонтритетраэдр,

гексатетраэдр

из симметрически эквивалентных нормалей. Результат вывода

представлен в табл. 3, которую иллюстрирует рис. 1.7.20. Наиболее

важные из перечисленных изоэдров — правильный додекаэдр и

икосаэдр (см. рис. 1.4.5, б) — уже упоминались в разделе 1.4.

Подводя итоги, обратимся к еще более общей классификации

всех названных выше изоэдров. Они делятся на: 1) изоэдры низ-

шей категории (нет осей высшего порядка), 2) изоэдры средней

58

Т а б л и ц а 3

Изоэдры в точечных группах 25 и

Положение нормали к грани

на стереографической проекции

(рис. 1.7.20)

Точка А

Точка В

Точка С

Дуга АВ

Дуга АС

Дуга ВС

Общее положение

а) в группе 25

б) в группе т5

Название изоэдра

додекаэдр

икосаэдр

ромботриаконтаэдр

те грагонпентадо декаэдр (тетрагонтриикоса-

эдр)

тригонпентадодекаэдр

тригонтриикосаэдр

пентагонтриикосаэдр (пентагонпентадодека-

эдр)

гексаикосаэдр ( декад одекаэдр)

Число

г ране и

12

20

30

60

60

60

60

120

категории (одна ось высшего порядка), 3) изоэдры высшей кате-

гории, которые, в свою очередь, подразделяются на кубические

(четыре оси 3) и икосаэдрические (шесть осей 5).

Имеется 7 изоэдров низшей категории: моноэдр, пинакоид,

диэдр, ромбическая призма, ромбическая дипирамида, ромбический

Рис. 1.7.17. Изоэдры, выводимые из октаэдра:

октаэдр, тригонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр, пентагонтриоктаэдр, гексаок

таэдр

5<

Рис. 1.7.18. К,уб (гексаэдр), тетрагексаэдр, пентагондодекаэдр, дидодекаэдр и

ромбододекаэдр

Рис. 1.7.19. Кристалл ЫаСЮ3:

1 — куб, 2 — ромбододекаэдр, 3 — Пентагон-

додекаэдр, 4 — тетраэдр

Рис. 1.7.20. К выводу изоэдров точечных групп

25 и т5. Показана 1/5 стереографической про-

екции группы 25

тетраэдр. Из них два первых могут встречаться в многогранниках

с точечными группами низшей и средней категории, остальные —

только в группах низшей категории. Изоэдров средней категории

бесчисленное множество, и все они специфичны для групп сред-

ней категории. Аналогичная избирательность наблюдается для

кубических изоэдров, которые встречаются лишь в группах 23,

432, тЗ, 43т, тЗт, и для икосаэдрических изоэдров, которые су-

ществуют лишь в группах 25 и тЬ.