1.2. Теоремы о комбинациях

ЗАКРЫТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ

Набор элементов симметрии, присутствующих в той или иной

фигуре, не может быть произвольным. Он подчиняется ряду тео-

рем, знание которых существенно облегчает анализ симметрии

фигуры. Эти теоремы нетрудно доказать, пользуясь, например,

правилами умножения симметрических операций (см. раздел 2.2).

Теорема 1. Если две оси 2 пересекаются под углом а=180°/п,

где п — натуральное число, то через точку их пересечения пер-

пендикулярно к этим осям проходит поворотная ось п. В част-

ности, при наличии двух взаимно перпендикулярных осей 2 пер-

пендикулярно к ним обязательно проходит третья такая же ось.

Теорема 2 вполне аналогична теореме 1, но относится к ин-

версионным осям 2. Если две оси 2 (т. е. нормали к плоско-

стям т) пересекаются под углом а=180°/я, то через точку их

пересечения перпендикулярно к этим осям проходит поворотная

ось п.

Угол между нормалями к плоскостям равен углу между плос-

костями. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать и

так: линия пересечения двух плоскостей т, образующих угол а,

есть поворотная ось с углом поворота 2а. В частности, взаимно

перпендикулярные плоскости т пересекаются по оси 2.

Теорема 3. Если ось 2 пересекается под углом а=180°/п с

осью 2, то через точку их пересечения перпендикулярно к этим

осям проходит инверсионная ось п.

Из теорем 1—3 вытекает, что угол_ между двумя осями 2 или

двумя плоскостями т или осями 2 и 2 не может быть любым: он

обязательно должен удовлетворять соотношению a=\80c-k/n.

Отметим особо важный частный случай теоремы 3. Точка пе-

ресечения взаимно перпендикулярных оси 2 и плоскости т есть

центр симметрии. Аналогичное утверждение справедливо по от-

ношению к любой поворотной оси четного порядка, поскольку

каждая из них содержит ось 2 в качестве подгруппы. Нетрудно

также доказать, что: 1) если на оси 2 располагается центр сим-

метрии, то перпендикулярно к ней проходит плоскость т; 2) если

на плоскости га располагается центр симметрии, то перпендику-

лярно к ней проходит ось 2. Таким образом, наличие любых

двух из трех элементов симметрии: 1, 2 и т — с необходимостью

вызывает присутствие третьего.

Теорема 4. Если в плоскости, перпендикулярной к оси п, рас-

полагается ось 2 или ось 2, то всего в этой плоскости должно

находиться п таких осей. Таким образом, если через ось п про-

27

ходит плоскость симметрии, то всего через эту ось проходит п

плоскостей т (см., например, рис. 1.3.5).

Теорема 5. Если в плоскости, перпендикулярной к оси /г, рас-

полагается ось 2 (или 2), то под угло^ 180°/я к последней оси в

той же плоскости проходит ось 2 (или 2) (см., например,

рис. 1.3.9).

Сформулированные теоремы показывают, что наличие в фи-

гуре двух нетривиальных элементов симметрии обязательно вы-

зывает присутствие по крайней мере еще одного элемента сим-

метрии.

1.3. Семейства точечных групп

НИЗШЕЙ И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИ

Совокупность закрытых элементов симметрии, присущих ка-

кой-либо фигуре, называется ее точечной группой симметрии1.

Понятие точечной группы (и ее обозначение) аккумулирует в

себе общую характеристику симметрии непериодической фигуры.

Поскольку порядок оси симметрии в принципе может быть

сколь угодно большим целым числом, существует бесчисленное

множество разных точечных групп. Однако набор элементов сим-

метрии, входящих в группу, и их относительная ориентация дол-

жны подчиняться теоремам, сформулированным в предыдущем

разделе. Поэтому удается выделить семь семейств точечных

групп так, что группы, составляющие данное семейство, во мно-

гом сходны. В итоге можно составить ясное представление обо

всем многообразии точечных групп, несмотря на то что количе-

ство их бесконечно. Подробное знакомство с семействами точеч-

ных групп совершенно необходимо каждому, кто хочет уметь уве-

ренно пользоваться аппаратом этих групп.

Для краткости мы не даем строгого вывода всевозможных то-

чечных групп, но уже сама классификация по семействам пред-

определяет пути такого вывода. fl

I. Семейство групп вида Ы (семейство вращающегося кону-

са). Сюда входят группы, содержащие лишь одну поворотную

ось. Обозначения этих групп совпадают с обозначениями соот-

ветствующих элементов симметрии. Из дальнейшего будет вид-

но, что эти группы удобно разделить на два ряда — с нечетным

и четным порядком оси:

1. 3, 5, 7, . . . }

2. 4, 6, 8, ... |

В пределе оба ряда приведут к группе, содержащей ось бес-

конечного порядка. Такой симметрией обладает фигура, которая

совмещается сама с собой при повороте на любой, в том числе

бесконечно малый, угол. В качестве примера фигуры, содержа-

1 Более строгое определение точечной группы дано в разделе 2.1.

28

щей ось оо, можно привести конус. Однако конус имеет еще и

бесчисленное множество плоскостей симметрии, проходящих

через ось оо. Все эти плоскости симметрии исчезают, если рас-

сматривать вращающийся конус (или же покоящийся конус,

всем точкам которого приписываются свойства бесконечно ма-

лых штрихов, ориентированных косо по отношению к образую-

щим конуса) (рис. 1.3.1, а). Отсюда происходит название се-

мейства.

Рис. 1.3.1. Фигуры, обладающие осями бесконечного

порядка:

а — вращающийся конус, б — скрученный цилиндр,

в — вращающийся цилиндр, г — шар с вращающи-

мися точками поверхности

Примером молекулы, симметрия которой отвечает точечной

группе 2 из семейства вращающегося конуса, является молекула

бензофенантрена (рис. 1.3.2). При идеально плоском строении

молекула имела бы две плоскости симметрии (совпадающую с

плоскостью чертежа и перпендикулярную к ней), а также ось 2,

проходящую по линии пересечения этих плоскостей. Однако в

силу значительного стерического затруднения, которое возникает

в результате перекрывания валентно не связанных атомов водо-

рода, конфигурация молекулы искажается: периферийные фе-

нильные кольца отклоняются в разные стороны от плоскости

чертежа. В итоге молекула имеет симметрию 2.

II. Семейство групп вида п2 или п22 (семейство скрученного

цилиндра). Если к каждой поворотной оси, входящей в семей-

ство вращающегося конуса, добавить перпендикулярную ось вто-

рого порядка, получится еще одно семейство точечных групп. Со-

гласно теореме 4 из предыдущего раздела, каждая из этих групп

содержит кроме оси п-ro порядка («главная» ось) п осей второ-

го порядка («побочные» оси), расположенных в перпендикуляр-

ной плоскости и образующих между собой углы 180°/я.

В качестве примера на рис. 1.3.3 показано расположение эле-

ментов симметрии в двух таких группах — с осями третьего и

четвертого порядков. Заметим, что между этими двумя случаями

есть принципиальная разница. При наличии оси 3 прямые, по

29*

которым проходят оси 2, во всех отношениях одинаковы: они

преобразуются друг в друга при повороте на 120°. Этого нельзя

сказать о группе с осью четвертого порядка: при повороте на 90°

ось У переходит в другую ось 2', а ось 2", в свою очередь, со-

вмещается с осью 2"'. Неэквивалентность осей 2' и У в символе

отражается записью двух осей второго порядка (42'2" или про-

сто 422). В символе группы с осью 3 пишется лишь одна двой-

ка (32).

Рис. 1.3.2 Молекула бензофенан-

трена (точечная группа 2). Плю-

сом отмечены части молекулы, при-

поднятые над плоскостью чертежа,

минусом — опущенные. Штрихо-

вой линией показана область сте-

рических затруднений

2"

Рис. 1.3.3. Расположение элементов сим-

метрии в точечных группах семейства

скрученного цилиндра:

а — группа 32, б — группа 422

Указанное обстоятельство имеет общий характер: если поря-

док главной оси нечетный, прямые, по которым проходят оси 2,

эквивалентны; в случае четного порядка существует два типа

таких прямых и соответственно два типа осей 2. Последнее яв-

ляется причиной, по которой точечные группы этого семейства

делятся на два ряда:

121, 32, 52, 72,...

222, 422, 622, 822, ...

В пределе оба ряда дают точечную группу оо2 с одной глав-

ной осью симметрии бесконечного порядка и бесчисленным мно-

жеством побочных осей второго порядка. Примером фигуры,

принадлежащей к предельной группе оо2, может служить скру-

ченный цилиндр (см. рис. 1.3.1,6). Отсюда — название семейства.

оо2

1 Эта группа уже фигурировала в семействе вращающегося конуса (груп-

па 2). Ниже также встречаются случаи, когда первые члены рядов, относящихся

к разным семействам, фактически представляют собой одинаковые группы.

30

В качестве примеров молекул, симметрия которых описы-

вается группами этого семейства, приведем молекулы трифенил.-

дихлорстибина и дифенила .(рис. 1.3.4).

Первая из этих молекул по форме напоминает трехлопастный

пропеллер, осью которого служит прямая С1—Sb —C1. Плоскость

каждого из фенильных колец повернута относительно экватори-

альной плоскости на угол около 45° так, что при повороте на

а

Рис. 1.3.4. Молекулы, симметрия которых описывается группами семейства

скрученного цилиндра:

а — молекула 5Ь(СеН5)зС12 (группа 32), б — молекула дифенила в га-

зовой фазе (группа 222)

120° вокруг прямой С1—Sb—С1 эти кольца совмещаются друг с

другом; следовательно, по этой прямой проходит ось 3. По ли-

ниям трех связей Sb—С, расположенным в экваториальной плос-

кости, проходят оси 2: поворот вокруг такой линии приводит к

тому, что одно из колец совмещается само с собой, а два других

кольца и атомы хлора преобразуются друг в друга. Таким обра-

зом, молекула имеет симметрию 32.

В кристаллах молекулы дифенила имеют плоское строение.

В отличие от этого в газовой фазе два фенильных кольца повер-

нуты относительно ординарной связи С—С на некоторый угол.

В результате группа симметрии содержит лишь три взаимно

перпендикулярные оси 2 (группа 222).