1.6. Орбиты, изогоны, изоэдры

Всякому элементу симметрии соответствует некоторое преобра-

зование, при котором рассматриваемая фигура совмещается сама

с собой; такое преобразование называется симметрической опера-

цией (подробней этот вопрос обсуждается в разделах 2.1—2.4).

Совокупность точек, которые преобразуются друг в друга в ре-

зультате проведения операций симметрии, называется системой

эквивалентных позиций, или орбитой. В дальнейшем мы будем го-

ворить, что такие точки (или такие позиции) связаны симметриче-

скими операциями, или элементом симметрии. Например, атомы уг-

лерода в молекуле бензола связаны осью 6, и поэтому они занима-

ют эквивалентные позиции; атомы водорода располагаются по

Другой орбите. В молекуле метана одну орбиту занимают атомы

водорода, другую — атом углерода (в последнем случае орбита

включает в себя лишь одну позицию).

Разумеется, если речь идет о молекулах, в эквивалентных по-

зициях могут располагаться только атомы одного элемента. Это,

однако, не означает, что все атомы данного элемента, входящие в

молекулу, должны занимать одну орбиту. Например, в молекуле

SbCl5 (см. рис. 1.1.2,6) атомы хлора, лежащие в экваториальной

плоскости, расположены по точкам одной орбиты, а атомы хлора,

лежащие на оси 3, занимают эквивалентные позиции на другой

орбите. Для химика существенно, что атомы, относящиеся к од-

ной системе позиций (и только эти атомы), вполне идентичны по

своим свойствам.

Число точек, входящих в данную систему эквивалентных пози-

ций, называется кратностью эчой системы (орбиты), или кратно-

стью позиции. Например, в случае молекулы SbCls кратность по-

зиции в экваториальной плоскости равна трем, а кратность пози-

ции па оси 3 — двум.

Позиция называется частной, если точка расположена на каком-

либо элементе симметрии. В противном случае позиция называется

общей. Частые позиции могут быть разных типов: па плоскости

симметрии, на оси, в особой точке инверсионной оси, в центре

симметрии, в точке пересечения осей симметрии. Например, в мо-

лекуле 5Ь(СбНб)зС12 (см. рис. 1.3.4, а) атомы С и Н, не лежащие

на осях 2, занимают общие шестикратные позиции. Атомы С и Н,

лежащие на осях 2, располагаются в частных трехкратных пози-

циях. Атомы С1 занимают частную двукратную позицию на осп 3,

и, наконец, атом Sb находится в частной однократной позиции в

точке пересечения осей 3 и 2. Отметим, что кратность общей по-

зпппи всегда больше кратности частной позиции.

Как уже было сказано в разделе 1.1, в каждой непериодиче-

2коя фигуре имеется по крайней мере одна особенная неповторяю-

щаяся точка, т. е. орбита с кратностью 1.

Рассмотрим для примера, какие типы позиций возможны в то-

чечной группе mmm и как они изобразятся на проекции *. Во-пер-

вых, это общая восьмикратная позиция, изображенная на рис.

1.6.1, а. Затем, имеются частные позиции различных типов: на

Рис 1.6.1. Возможные типы систем эквивалентных позиций в точеч-

ной группе mmm:

а — общая позиция, б — позиция на плоскости симметрии т, в —

позиция на оси 2, г — позиция в центре инверсии

плоскости симметрии (рис. 1.6.1, б, кратность равна 4), па осп 2

(рис. 1.6.1, в, кратность равна 2) и в центре симметрии (рис.

1.6.1, г, кратность равна 1).

Если координаты одной из точек, входящих в систему эквива-

лентных позиций, обозначить х, у, z, то координаты остальных то-

чек данной системы можно выразить чсфс,' эти величины.

Перечислим типы орбит для группы гптпг с указанном кратно-

сти и ксо; динат точек:

1 На проекции рядом с точкой указывают ее координату ( + z или —г).

Часто букву z опускают, сохраняя знаки + или —. Если точка расположена в

плоскости проекции, т. с z -^0, координату вообще не указывают.

1) 8 (общая позиция): х, у, г; к, у, —г; х, —у, z\ x, —у, —г;

—х, у, z\ —х, у, —z\ —х, —у, z\

—х, —у, —z\

2) 4 (на плоскости тх): 0, #, г; 0, #, —г; 0, —у, г; 0, —у, — г\

3) 4 (на плоскости mY): х, 0, г; х, 0, —2; —х, 0, г; —д:, 0, —z;

4) 4 (на плоскости mz): х, г/, 0; х, —у, 0; —х, #, 0; —х, —у, 0;

5) 2 (на оси 2Х): х, О, 0; —х, О, О;

6) 2 (на оси 2У): 0, t/, 0; 0, —#, 0;

7) 2 («а оси 2Z): 0, 0, г\ О, 0, — z;

8) 1 (в центре симметрии): О, О, О.

В разных молекулах симметрии ттт атомы могут занимать

разное число систем эквивалентных позиций; кроме того, эти пози-

ции могут отличаться по типу и по значениям координат. Так, в

Рис. 1.6.2. Нумерация атомов в мо-

лекуле нафталина. Обозначения ато-

мов С или Н, занимающих эквива-

лентные позиции, имеют одинаковый

нижний индекс

Рис. Кристалл карбамида

CO(NH2)2:

а — общий вид, б — стереографическая

проекция нормалей к граням (гномосте-

реографическая проекция граней)

плоской молекуле нафталина (рис. 1.6.2) атомы С располагаются

по точкам трех орбит:

GI — позиция на плоскости mz; д; = 2,406; // = 0,698 А;

С2 — позиция на плоскости mz; x= 1,230; #=1,408 А;

С3 — позиция на оси 2У; у = 0,698 А.

Атомы Н занимают д,ве однотипные орбиты:

HI — позиция на плоскости mz\ д: = 3,350; #=1,243 А;

Н2 — позиция на тоскости mz; x= 1,230; # = 2,498 А.

Рассмотренный пример показывает, что с использованием ап-

парата точечных групп и понятия об эквивалентных позициях мож-

но представить полную информацию о строении молекулы в очень

сжатой форме. Действительно, прибегнув к общеизвестным форму-

лам аналитической геометрии, из приведенных данных нетрудно

сосчитать межатомные расстояния и валентные углы в молекуле

нафталина.

Многогранник, вершины которого составляют одну орбиту, на-

зывается изогонам. Пример изогона — прямоугольный паралле-

ле'ч.псд; его вершины представляют собой систему позиций в груп-

пе nimm (см. рис. 1.6.1, а).

Однако чаще в кристаллохимии и кристаллографии приходит-

ся иметь дело с многогранниками иного типа, называемыми изо-

эдрами1. В изоэдрс все грани связаны элементами симметрии и

поэтому совершенно идентичны. Например, изоэдрами являются

куб, правильный п тетрагональный (см. рис. 1.1.4, а) тетраэдры,

многогранники, изображенные на рис. 1.4.2 и 1.4.5, уже упоминав-

шиеся выше тригональная дипирамида (рис. 1.7.6) и ромбоэдр

(рис. 1.7.7).

Многогранник, содержащий разные по форме грани, всегда

можно представить как комбинацию изоэдров. При таком подхо-

де пзоэдром называют совокупность симметрически эквивалентных

и, следовательно, ра.вных граней многогранника (отметим, что по-

нятие изоэдра аналогично понятию орбиты). Чтобы представить

общин вид изоэдра, нужно продолжить входящие в него грани до

пересечения. Подразумевается, что изоэдр может быть как замк-

нутым, та:; и незамкнутым (открытым) многогранником. В част-

ном случае изоэдр включает в себя лишь одну грань (моноэдр)

или две грани, которые при их продолжении пересекаются (диэдр)

и т оказываются параллельными (пинакоид). Так, многогранник

па ри:. 1.1.4, б содсржчт три изоэдра, среди которых наряду с тет-

рагональным тетраэдром имеется и пинакоид (пара горизонталь-

но гранен), третий изсэдр образован четырьмя вертикальными

гранями. Число граней, входящих в изоэдр, называется его крат-

ь^пыо.

Для изображения изоэдров пользуются стереографической про-

екцией (см. раздел 1.1). При этом, однако, изображают не сами

грани, а их нормали, считая последние лучами, исходящими из

начала координат (так называемая гномостереографическая про-

екция граней). Точку пересечения нормали со сферой проекции

соединяют с южным полюсом, если эта точка находится в север-

ном полушарии, и с северным — если точка пересечения оказыва-

ется в ю>! ном полушарии. В первом случае точку, полученную па

плоскости проекции, обозначают кружочком («верхняя» грань),

по втором случае — крестиком («нижняя» грань). Грань, которая

перпендикулярна плоскости проекции (т. е. се нормаль лежит в

Э ' о й плоскости), изображается кружочком на окружности проек-

ции.

На рис. 1.6.3 в качестве примера показана проекция кристал-

ла карбамиду CO(NH2)2, симметрия которого описывается то к^ч-

пой группой 42/71. Этот многогранник представляет собой к^лг»ч-

п-щгю /пух систем экр'палснтных граней, т. е. двух и"о?;-потз. На

ПРО'.1 ЩИ И ГраПЯМ, ОТНОСЯЩИМСЯ К ОТ.НОМу ИЗО"5Дру, CO'-vp"T(Mr^ TQT

ол:'пал'(н>ые померз. Кратность обоих пзоэдров, т. е. ч:.сло ичодя-

пиь. в них гранен, в дгмчюм случае рачма 4.

1 Часто для обозначения этого понятия употребляют термин «простая

(К пэда»

48

Примеры проекций более сложных многогранников (кристал-

лов кварца и NaClO3) приведены на рис. 1.7.10 и 1.7.19. Здесь

стоит обратить внимание на то, что если нормали к нижней и

верхней граням лежат в одной вертикальной плоскости и при этом

имеют равный наклон по отношению

к экваториальной плоскости, то они

проектируются в одну точку, находя-

щуюся внутри круга проекции, и изо-

бражаются как крестик в кружочке;

рядом ставятся номера этих граней,

разделенные черточкой; эти номера

одинаковы, если грани относятся к од-

ному изоэдру, и различны, если они

принадлежат разным изоэдрам.

Проекции, подобные изображен-

ным на рис. 1.7.10 и 1.7.19, обычно

строят приближенно, так, чтобы лишь

качественно охарактеризовать вид

многогранника (огранку крис.алла).

При этом наклон граней определяют

«па глазок», следя за тем, например,

чтобы изображения нормалей, более близких к вертикали, распо-

лагались ближе к центру круга, и т. п.

По можно построить точную проекцию многогранника. Для

этого положение грани (вернее нормали к ней) характеризуют с

помощью сферических координат ср и р, описывающих положение

точки пересечения нормали со сферой (рис. 1.6.4). При изучении

огранки кристаллов эти координаты непосредственно измеряют на

р"^6-4-

Рис 1 6.5 Сетка Вульфа:

а — общий вид, б — вспомогательный чертеж, поясняющий способ построе-

ния сетки (вид сбоку), в — проекция грани, для которой (р—155°, р —68°

приборе, который называется гониометром. Для нанесения точек

па проекцию пользуются сеткой Вульфа (рис. 1.6.5, а), наклады-

вая кальку па стандартный шаблон с изображением этой сетки.

Здесь имеются две шкалы — на окружности и на диаметре (на

рисунке цепа делении равна 30°, кристаллографы обычно исполь-

зуют сетки радиусом 10 см с ценой деления, равной 2°). Окруж-

ность разделена на равные части — по этой шкале отсчитывают

угол ф. По шкале, нанесенной на диаметре, отсчиты-вают угол р;

тут длина делений определяется соотношением OA2 = Rtgp/2, как

это видно из рис. 1.6.5, б. На рис. 1.6.5, в для ясности показана

гномостереографическая проекция грани с некоторыми конкретны-

ми значениями сферических координат.

Более детальное описание сетки Вульфа и разнообразные при-

меры решаемых с ее помощью задач можно найти в учебнике по

кристаллографии Г. М. Попова и И. И. Шафрановского или в ана-

логичном учебнике М. П. Шаскольской (см. список рекомендуе-

мой литературы).

В заключение сопоставим понятие изоэдра с понятием изого-

на. Прямоугольный параллелепипед, приведенный выше в качест-

ве примера изогона, не является изоэдром — он представляет

собой комбинацию трех пинакоидов. Напротив, такие изоэдры, как

тригональная дипирамида или ромбоэдр, — не изогоны. Их вер-

шины, лежащие на оси 3, отличаются от прочих вершин. Вместе

с тем, разумеется, многогранник может быть одновременно и изо-

гоном и изоэдром, но среди замкнутых многогранников имеются

лишь 7 таких случаев: так называемый ромбический тетраэдр

(грани — разносторонние треугольники, см. рис. 1.7.5), тетраго-

нальный и правильный тетраэдры, октаэдр, куб, правильный доде-

каэдр и ,икосаэдр (см. рис. 1.4.5).