1.5. Зеркально-поворотные оси

И СИМВОЛИКА ШЕНФЛИСА

До сих пор мы подразделяли закрытые элементы симметрии

на поворотные и инверсионные оси. Существует, однако, и другой,

совершенно равноценный способ описания симметрии фигур, ког-

да вместо инверсионных рассматриваются так называемые «зер-

кально-поворотные» оси.

В общем случае зеркально-поворотная ось Sn, как и инверси-

онная ось п, — это прямая, несущая на себе особую точку О.

Однако специфическое свойство зеркально-поворотной оси опреде-

ляется иначе: фигура, обладающая такой осью, должна самосов-

мещаться при повороте вокруг данной прямой на угол 360°//г и

отражении в плоскости, проходящей через точку О и перпендику-

лярной оси поворота.

На рис. 1.5.1 показано, как точка Л2 преобразуется в точку А\

в результате поворота на 90° и инверсии в точке О; нетрудно ви-

деть, что это же преобразование можно осуществить путем пово-

рота на 90° в обратную сторону в сочетании с отражением в пер-

пендикулярной плоскости, проходящей через точку О. При таком

преобразовании самосовмещаются целиком и многогранники, по-

казанные на рис. 1.1.4. Отсюда следует, что ось 4 эквивалентна

зеркально-поворотной оси четвертого порядка S4.

Каждую инверсионную ось можно рассмотреть как зеркально-

поворотную, но соотношение между порядками этих осей в общем

случае оказывается не столь простым. Оно выражается следую-

щими правилами.

1. Инверсионные оси нечетных порядков эквивалентны зеркаль-

но-поворотным осям удвоенных порядков, т. е. п = 8<2П. Например,

T = S2, 3 = SQ и т. д.

2. Инверсионные оси с п = 4/ + 2 эквивалентны зеркально-по-

воротным осям вдвое меньших порядков, т. е. n = Sn/2. Например,

2 = m = Si = o, 6 = S3 и т. д. Таким образом, зеркально-поворотная

ось первого порядка эквивалентна плоскости симметрии.

3. Инверсионные оси с п = 4/ эквивалентны зеркально-поворот-

ным осям тех же порядков, т. е. n = Sn. Например, 4 = S4 и т. д.

Для ясности приведем два примера. В многограннике, представ-

ляющем собой вытянутый или сжатый вдоль оси третьего порядка

куб и называемом ромбоэдром (все грани — ромбы) (рис. 1.7.7),

легко обнаружить инверсионную ось З^так как здесь присутству-

ют поворотная ось 3 и центр инверсии 1. Нетрудно также убедить-

ся, что ромбоэдр самосовмещается при повороте вокруг этой оси

на 60° в сочетании с отражением в перпендикулярной плоскости.

Значит, симметрию этой фигуры можно охарактеризовать и зер-

42

кально-поворотной осью 56 (3 = 5б). Еще прощена примере триго-

нальной дииирамиды (рис. 1.7.6) установить эквивалентность осей

6 и 53.

Итак, существуют две альтернативные классификации закры-

тых элементов симметрии: 1) поворотные и инверсионные оси;

2) поворотные и зеркально-поворотные оси. Первая из них лежит

в основе уже описанной международной символики точечных

групп (символы Германа — Могена), вторая используется в сим-

волике Шенфлиса. В кристаллографии и кристаллохимии применя-

ют по большей части международную символику; ее преимущество

заключается в том, что она удобна для последующего перехода к

обозначениям групп симметрии периодических фигур, в первую

очередь кристаллических структур. Когда же речь идет только о

симметрии молекул, чаще пользуются символами Шенфлиса

(в квантовой химии, спектроскопии и т. д.). Современный исследо-

ватель, имеющий дело со строением химических веществ, должен

одинаково свободно владеть и той и другой символикой.

По Шенфлису, поворотные оси обозначаются Сп, зеркально-

поворотные — Sn.

Для обозначения точечных групп низшей и средней категории

используют буквы С или D или 5, цифровые индексы, указываю-

щие порядок оси, и буквенные индексы v или d или /i, свидетель-

ствующие о наличии плоскостей симметрии. При этом действуют

следующие правила:

а) буквой С обозначают группы, не содержащие побочных

осей 2, буквой D — группы, содержащие такие оси; в этом случае

индекс п — порядок поворотной оси (даже при наличии зеркаль-

но-поворотной оси более высокого порядка);

б) буквой 5 обозначают группы, представляющие собой зер-

кально-поворотные оси четного порядка и не содержащие других

элементов симметрии; в таких группах п — порядок зеркально-

поворотной оси;

в^ наличие плоскостей симметрии, проходящих через главную

ось, обозначают индексом v\ если наряду с такими плоскостями

присутствуют оси второго порядка, не лежащие в этих плоскостях,

то ставится индекс d\ наличие плоскости симметрии, перпендику-

лярной к главной оси, обозначается индексом /г.

Запишем обозначения Шенфлиса для семейств точечных групп.

1. Группы семейства вращающегося конуса имеют обозначе-

ния Сп:

с2 с4 св • Со

2. Группы семейства скрученного цилиндра помимо главной оси

имеют побочные оси второго порядка; следовательно, они обозна-

чаются как Dn:

>i(Q D3

3. Группы семейства неподвижного конуса помимо главной

оси содержат плоскости, проходящие через главную ось, поэтому

они имеют обозначения Cnv:

Г Г г ^2и °4и ьво • •

Группа C\Vy содержащая только плоскость зеркального отражения,

чаще обозначается символом Cs.

4. Группы семейства вращающегося цилиндра, содержащие

только зеркально-поворотные оси четных порядков, обозначаются

как Sn:

82 SQ SIQ ... 4/4-2

4 Ss 5i2 ... 4/

Группы первого из этих двух рядов обозначают также символами

Сщ> используя то, что фигурирующие здесь зеркально-поворотные

оси эквивалентны инверсионным осям вдвое меньших порядков;

в таком случае п — это порядок инверсионной оси. Таким образом,

52 = С/, 5е = Сз», S\Q = Cst и т. д.

Остальные группы этого семейства содержат плоскость симмет-

рии, перпендикулярную к главной оси, и обозначаются как Сял:

С*н

Предельная группа этого семейства имеет обозначение 5<х> или CW.

5. Те группы семейства неподвижного цилиндра, которые со-

держат плоскость симметрии, перпендикулярную главной оси,

обозначаются как DUH, а те, которые содержат плоскости симмет-

рии, проходящие через главную ось, но не совпадающие с побоч-

ными осями, обозначаются символами Dnd\

Dld(C*h) DM

ZX, (С*..} D3h м„ . . .

/Jooft.

Первые группы первых двух рядов, уже встречавшиеся в других

семействах, обычно обозначаются как С2н и C%v соответственно.

В группах третьего ряда цифровой индекс соответствует порядку

поворотной оси, входящей в качестве подгруппы в зеркально-по-

воротную (инверсионную) ось. Например, 42m = D2d, 82rn = D4d

и т. д.

Для групп высшей категории используются следующие сим-

волы:

44

Семейство шара с вращающимися точками

поверхности

•

международный символ

23

—

432

25

0000

символ Шенфлиса

Т

—

0I

к

Семейство шара

международный

символ

43т

тЗ

тЗт

/72,5

оо— т

m

символ Шенфлиса

Td

Th

oh Ih

Кн

Группы, содержащие оси пятого порядка, обозначаются буквой /,

содержащие поворотные оси четвертого порядка — буквой О,

группы, не содержащие этих осей, обозначаются буквой Т. Пре-

дельные группы с осями бесконечного порядка записываются с

помощью символа К. Наличие плоскостей симметрии отмечается

индексом /I. Ввиду того что существуют две группы Т с плоско-

стями симметрии, одна из них (содержащая координатные пло-

скости) записывается как Тн, другая (с диагональными плоскостя-

ми) — как Td.