III. Семейство групп вида пт и птт (семейство неподвиж-

ного конуса). Точечные группы, относящиеся к этому семейству,

получаются, если в каждой поворотной оси, входящей в семейство

вращающегося конуса, добавить плоскость т, проходящую через

эту ось. Тогда в каждой точечной группе возникает п таких плос-

костей. Символы этих групп записываются следующим образом:

1т, Зт, 5т, 7т, ... )\ оо т

2тт, 4тт, бтт, 8тт, ... ]

Как и в предыдущем семействе, здесь наблюдается эквивалент-

ность плоскостей, проходящих через оси нечетного порядка, и их

неэквивалентность в случае осей четного порядка (рис. 1.3.5).

Указанное обстоятельство отражается и в обозначениях точеч-

ных групп: в символах групп первого ряда буква m пишется

•один раз, в символах групп второго ряда — дважды.

В пределе оба ряда дают точечную группу oom с главной

осью симметрии бесконечного порядка и бесчисленным множест-

вом вертикальных плоскостей симметрии. Примером фигуры,

имеющей симметрию оо/п, является неподвижный шнус. Такую

же симметрию имеют молекулы с линейным строением: НС1, СО,

НС&__и_другие. Симметрия 1т (в кристаллохимической практике

эту группу~обычно обозначают просто т) характерна для многих

а 5

Рис. 1.3.5. Расположение элементов

симметрии в точечных группах семей-

ства неподвижного конуса:

а — группа Зт, б — группа 4тт

(Г

н

Рис. 1.3.6. Плоская

молекула борной

кислоты (точечная

группа 6)

молекул _______(уголковая молекула НС1О, моногалоидозамещенные

производные, нафталина, антрацена и других" конденсированных

ароматических углеводородов и т. п.). Часто встречается и груп-

па 2mm (молекулы воды, СЬЬСЬ, цис-дихлррэтилена, молекулы

дигалоидных мета- и орто-пройзводных бензола и другие). При-

мерами молекул, группы симметрии которых содержат оси более

высокого порядка, служат пирамидальные молекулы NH3 (груп-

па 3m), BrF5 (группа 4тт).

IV. Семейство групп вида п и /г/т (семейство вращающегося

цилиндра) в отличие от предыдущих, включает в себя не два, а

четыре ряда точечных групп:

Т1. о о", НО" , п/ , . . .

2. 6, Т, 74, ... 47+2

4, 8, 12, 16, ... 4/

2/т, 4/т, 6/т, 8/т, ...

оо/т

32

Здесь в виде дроби (например, 2/т) записаны взаимно перпенди-

кулярные ось и плоскость симметрии.

Как было показано в разделе 1.1, особенностью точечных

групп первого ряда является то, что в каждой из них содержится

центр инверсии. В группах второго ряда центра инверсии нет, но

есть плоскость, перпендикулярная направлению главной оси (эти

группы У,ГЖПО было бы записать в виде 1/m, 3/т, 5/т..., но

обычно их обозначают символами вида п). В группах третьего

ряда нет ни центра инверсии, ни плоскости симметрии. На:;очец,

группы четвертого ряда содержат и центр инверсии и плос-

кость т. Действительно, так как любая ось четного порядка со-

держит в себе ось 2, присутствие центра инверсии в таких груп-

пах вытекает из теоремы 3 (см. раздел 1.2).

В пределе все эти ряды приводят к одной и той же тачечной

группе оо/ш (символ этой группы можно записать и как оо), что

является основанием для объединения их в одно семейство — се-

мейство вращающегося цилиндра (см. рис. 1.3.1, в).

Группами этого семейства описывается симметрия молекул

1,5-дихлорнафталина_ (группа 2/т), борной кислоты НзВОз

(рис. 1.3.6) (группа 6) и других.

V. Семейство неподвижного цилиндра. Если к каждой из

групп предыдущего семейства добавить плоскость симметрии т,

проходящую через ось, получается четыре новых ряда точечных

групп:

1т, Зт, 5т, 7т, ...

2т2, 6т2, Тт2, Пт2, . ..

42т, 82т, Т22т, Тб2т, ...

2/ттт, 4/ттт, 6/ттт, 8/ттт,

—оо т т

Рассмотрим последовательно каждый из этих рядов.

Выше отмечалось, что инверсионная ось нечетного порядка

содержит в себе поворотную ось того же порядка. Тогда в соот-

ветствии с теоремой 4 из раздела 1.2 каждая из точечных групп

первого ряда содержит столько плоскостей симметрии, каков по-

рядок главной оси. Кроме того, благодаря присутствию центра

инверсии перпендикулярно каждой плоскости располагается ось

второго порядка. Эти оси проходят между плоскостями симме-

трии. На рис. 1.3.7 показано расположение элементов симметрии

в первых двух группах этого ряда. Первая из этих групп уже

встречалась в предшествующем семействе, тде для нее было ис-

пользовано ее обычное обозначение 2/т.

Инверсионные оси четного порядка содержат в себе поворот-

ные реи с порядком в 2 раза меньшим. Поэтому при наличии

оси п с четным п имеется я/2 плоскостей симметрии, проходящих

через главную ось.

Группы второго ряда, где я = 4/+2, содержат, кроме того,

плоскость симметрии, перпендикулярную главной оси. В соответ-

33

ствии с теоремой 2 по линии пересечения взаимно перпендику-

лярных плоскостей т проходит ось второго порядка. Всего та-

ких побочных осей в группе содержится я/2. Первые две группы

Рис. 1.3.7. Расположение элементов симметрии в точечных группах первого-

ряда семейства неподвижного цилиндра: _

а — группа 1/п, чаще обозначаемая символом 2/т, б — группа 3/п

этого ряда представлены на рис. 1.3.8. Группа 2т2 уже фигури-

ровала в семействе неподвижного конуса в обозначении 2mm;

чаще всего эту группу обозначают символом mm2 (см. ниже).

Рис. 1.3.8. Расположение элементов симметрии в точечных группах второго ря-

_ да семейства неподвижного цилиндра:

а — группа 2т2 (ориентация элементов симметрии на рисунке соответству-

ет более обычному обозначению тт2), б — группа 6т2

В группах третьего ряда нет плоскости, перпендикулярной

главной оси, но здесь также присутствуют п/2 побочных осей

второго__порядка, что вытекает из теоремы 5 (см., например,

группу 42т на рис. 1.3.9).

Расположение элементов симметрии в первых двух группах

четвертого ряда показано на рис. 1.3.10. Обозначения этих групп

строятся подобно обозначениям групп семейства неподвижного

конуса с добавлением плоскости т, перпендикулярной к главной

оси; их записывают как в виде —mm (с помощью прямой дро- т

34

/би), так и в виде п/ттт (с помощью косой дроби). Группу

2/ттт обычно обозначают как ттт.

В пределе все эти ряды дают точечную группу — m (дру- m

гая запись ост). Такую симметрию имеет неподвижный цилиндр.

В качестве примеров молекул, симметрия которых описы-

вается точечными группами настоящего семейства, приведем мо-

лекулу ферроцена (см. рис^ 1.1.2, а, группа 5т), молекулу SbCls

(см. рис. 1.1.2,6, группа 6т2), молекулу нафталина (группа

ттт), молекулу бензола (группа б/mmm), двухатомные моле-

кулы галогенов, водорода, кислорода, азота t группа —°° т \ . _ \ гп I

Будем в дальнейшем называть оси п и п, для которых я>3.

осями высшего порядка.

Точечные группы, которые не содер-

жат ни одной такой оси, объединяются

в низшую категорию. Существует всего

восемь таких групп (1, 1, 2, m, 2/m, 222,

тт2, ттт).

Рис. 1.3.9. Расположение элементов симметрии в

точечной группе *42т (третий ряд семейства не-

подвижного цилиндра)

Точечные группы, содержащие одну ось высшего порядка

(или несколько таких осей, но проходящих по одной прямой),

принадлежат средней категории. Таких групп бесчисленное мно-

жество.

Выше были рассмотрены точечные группы этих двух катего-

рий. В дальнейшем нам предстоит познакомиться с группами

высшей категории, содержащими несколько осей высшего поряд-

ка, которые не совпадают по направлению (насчитывается всего

девять таких групп; о них говорится ниже).

При классификации точечных групп имеет смысл также вы-

делить предельные группы, содержащие оси бесконечного поряд-

1-г / О 00 0 0 \ ка. Пять из них оо, сю 2, оо/п, —, —m мы уже упоминали.

V m m /

Существуют еще две такие группы, которые служат основой для

разделения групп высшей категории на два семейства. Но преж-

де чем переходить к этим семействам, остановимся на некоторых

общих принципах символики точечных групп.

Одинаково широкое применение находят две системы обозна-

чений точечных групп. Первая из них называется символикой

Шенфлиса (она будет описана в разделе 1.5), вторая называется

международной символикой. В международных символах точеч-

ных групп обычно указываются не все элементы симметрии, а

лишь так называемые' «порождающие» (благодаря теоремам о

35

комбинациях они автоматически вызывают присутствие осталь-

ных, «порожденных» элементов). В вопросе о том, какой из эле-

ментов считать «порождающим» (если возникает такая альтер-

натива), предпочтение отдается плоскости т.

Употребляются сокращенные (использованные выше) и раз-

вернутые (более подробные) международные символы точечных

групп. В развернутой форме символ точечной группы низшей ка-

Рис. 1.3 10. Расположение элементов симметрии в

точечных группах четвертого ряда семейства не-

подвижного цилиндра:

а — группа 2/ттт, обычно обозначаемая просто

ттт, б — группа 4/ттт

тегории содержит три позиции1, соответствующие осям

нат X, У, Z. Если в точечной группе присутствует плоскость сим-

метрии, перпендикулярная той или иной оси, в соответствующей

позиции ставится обозначение «т». При наличии оси 2, идущей

вдоль какой-либо из осей координат, в соответствующей позиции

ставится «2». Одновременное присутствие этих двух элементов

симметрии обозначается «2/т». Отсутствие элементов симметрии,

соответствующих данной позиции, отмечается с помощью «1».

В этих обозначениях последние шесть из перечисленных выше

групп низшей категории записываются следующим образом:

112; llm; 11 — ; 222; тт2; A JLA.

т т т т

Здесь подразумевается, что в группах 2, т и 2/т ось 2 или 2~ на-

правлена вдоль оси Z, а в группе mm2 имеющиеся плоскости

перпендикулярны осям X и У; такой способ выбора осей коорди-

нат чаще всего применяется для этих групп. Однако возможна и

другая ориентация. Например, символ 1 ~ 1 показывает, что с

осью 2 совмещена координатная ось У, а символ 2mm означает,

1 Исключением являются группы 1 и 1, для которых развернутая форма за-

писи не нужна.

36

что плоскости симметрии перпендикулярны осям Y и Z, в то вре-

мя как по оси X проходит ось 2.

В точечных группах средней категории ось высшего порядка

обычно совмещают с осью Z. Обозначение этой оси высшего по-

рядка ставится в первой позиции. Наличие плоскости, перпенди-

кулярной к главной оси, отмечается в этой же позиции с по-

мощью дроби. Вторая позиция отводится для обозначения эле-

ментов симметрии, соответствующих координатной оси X. Третья

позиция нужна лишь для точечных групп с главными осями чет-

ного порядка — она служит для обозначения элементов симме-

трии, соответствующих направлению, которое лежит в плоскости,

перпендикулярной главной оси, и образует с осью X угол а =

= 180°М (в случае главных осей с нечетными порядками в

третьей позиции всегда получится то же, что и во второй).

В остальном правила построения символа те же, что и для низ-

шей категории.

В качестве примеров развернутой записи точечных групп

средней категории приведем следующие символы:_31 разверну-

тая форма) =3 (сокращенная форма) 411 = 4; 31=3; 411=4;

—3 —2 = —З т; —3 т2 = б—т 2; —4 —2 —2 ——4 mm (или 4/ттт).

т т т т т т

В семействах II и III развернутая и сокращенная формы записи

не отличаются друг от_друга. _

Отличие символов 42т и 4т2 заключается в том, что в пер-

вом случае ось X направлена вдоль оси 2 (это обычный способ

выбора осей координат), во втором случае осъ_Х совмещена с

перпендикуляром к плоскости т__(т. е. _с осью 2). Аналогичный

смысл имеет разница в символах 62т и 6/п2, но для этой группы

в качестве стандартного обычно принимают второй способ вы-

бора координатной системы.