4.4.1. Умови застосовування середніх

1. Середні повинні обчислюватись тільки для однорідних за своєю природою сукупностей, що встановлюється попереднім економічним аналізом.

2. Розраховуючи середню величину, треба спиратись на закон великих чисел, згідно з яким середні повинні обчислюватись не на окремих фактах, а на масових суспільних явищах, тоді взаємознищуються можливі випадкові відхилення і середня правильно характеризує типовий розмір ознаки.

3. Необхідно знайти правильний спосіб обчислення середніх.

Зв’язок між середньою величиною і елементами, від яких вона залежить, такий: чисельник представляє собою загальну суму значень ознаки усіх одиниць сукупності (загальний обсяг ознаки), а знаменник – загальне число одиниць сукупності. Таке співвідношення і є критерієм вибору виду середньої.

Середні величини, що застосовуються у статистиці, відносяться до класу степеневих середніх.

Середні бувають прості і зважені.

Проста використовується тоді, коли варіант (значення ознаки) зустрічається у сукупності один або однакове число разів (дані згруповані).

Зважена застосовується у тих випадках, коли кожний варіант зустрічається не однакову кількість разів в сукупності.

Загальна формула степеневої середньої:

простої зваженої

.

де – середня величина; – варіанти значень ознаки; – число варіант;

–показник степеня середньої.

4.4.2.Середня арифметична

Середня арифметична є найбільш поширеним видом середньої величини, що використовується у економічних розрахунках. Обчислюється у тих випадках, коли є дані про варіанти і частоти, для осереднення прямих значень ознаки шляхом їх підсумування.

Якщо , то

або .

4.4.3. Середня гармонічна

У деяких випадках є дані про варіанти та загальний обсяг ознаки, але відсутні частоти. У цьому випадку застосовується середня гармонічна. Вона використовується для осереднення індивідуальних значень з обернених ознак шляхом їх підсумування.

Якщо , то

або .

Принципово середня гармонічна від середньої арифметичної не відрізняється.

4.4.4. Серденя квадратична

Застосовується для визначення середніх сторін квадратів, середніх діаметрів циліндричних тіл, для вивчення варіації ознаки.

Якщо , то

або

4.4.5. Середня геометрична

Застосовується при розрахунках середніх темпів зміни явища в часі. Визначається як добуток відносних величин динаміки, які є кратним співвідношенням і-го значення показника до попереднього.

Якщо , то

або .

4.5. Поняття моди і медіани та їх використання в статистиці

Буває, що величина середньої не співпадає ні з одним із реально існуючих варіант. Тому в статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіант, що займають у впорядкованому ряді значень ознаки певне положення. Серед них найбільш вживаними є мода і медіана − структурні середні.

Медіана − варіант, розміщений в центрі впорядкованого ряду розподілу. Вона ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що по обидві сторони від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення варіюючої ознаки менше медіани, а у другої – більше. Медіана характеризує кількісну границю значень варіюючої ознаки, які мають половина одиниць сукупності.

Алгоритми знаходження медіани.

Дискретний ряд розподілу:

n – кількість членів ряду, парне число, тоді ;

n – непарне число, тоді .

Інтервальний ряд розподілу:

1. Визначаємо медіанний інтервал – інтервал, кумулятивна частота якого дорівнює або перевищує половину обсягу сукупності.

Кумулятивна частота характеризує обсяг сукупності із значенням варіантів, які не перевищують . Кумулятивні частоти утворюються послідовним підсумуванням абсолютних частот:

2. Обчислюємо медіану за формулою

де і – нижня межа і ширина медіанного інтервалу; − частота медіанного інтервалу; − кумулятивна частота перед медіанного інтервалу.

Мода − величина ознаки, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, який в ряді розподілу має найбільшу частоту.

У дискретному ряді М₀ визначається візуально за максимальною частотою.

В інтервальному ряду за найбільшою частотою визначається модальний інтервал.

Тоді ,

,

де х₀ і h – нижня межа і ширина модального інтервалу; – частоти модального, перед модального та після модального інтервалу.

Крім моди та медіани в аналізі закономірностей розподілу використовують квартилі та децилі. Квартилі – це варіанти які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі – на десять рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот: