4. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов (мнк)

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой, или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения.

По форме зависимости различают:

1. линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой (линейной функцией) вида ; (8.27)

2. нелинейную регрессию, которая выражается уравнениями вида:

параболы (8.28)

гиперболы . (8.29)

Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая.

По направлению связи различают:

1. прямую (положительную) регрессию, появляющуюся при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины значения зависимой также соответственно увеличиваются или уменьшаются;

2. обратную (отрицательную) регрессию, появляющуюся при условии, что с увеличением или уменьшением независимой величины зависимая соответственно уменьшается или увеличивается.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности.

Сущность метода МНК заключается в нахождении параметров модели ( ), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии: . (8.30)

Для прямой зависимости: .

Откуда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии МНК имеет вид

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

Окончательная проверка правильности расчета параметров уравнения связи производится подстановкой и в систему уравнений.

Используя уравнение связи , можно определить теоретическое значение для любой промежуточной точки.

Коэффициент регрессии уточняет связь между х и у. Он показывает на сколько единиц увеличится результативный признак при увеличении факторного признака на единицу.

Если связь между признаками у и х нелинейная и описывается уравнением параболы второго порядка, то

В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: . Параметры находят по МНК, и система уравнений имеет вид:

с увеличением факторного признака возрастает (или убывает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то применяется уравнение гиперболы:

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для этого производится замена переменных получается система уравнений

Решая систему уравнений, определяются параметры уравнения гиперболы.

Уравнение степенной функции имеет следующий вид:

Степенная функция применяется в экономических исследованиях для характеристики слабо нелинейной связи между результативными и факторными признаками. Параметр имеет экономический смысл – это коэффициент эластичности. Он показывает, что с увеличением признака фактора на 1 % результативный признак увеличивается на %.

Для определения параметров степенной функции МНК степенную функцию необходимо привести к линейному виду путем логарифмирования.