Вариация признака в совокупности. Показатели вариации для количественного и качественного признаков. Правило сложения дисперсий.
Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности называются вариацией.
Задача изучения вариации признаков состоит в том, чтобы:
1) определить меру вариации, т. е. количественно измерить (рассчитать показатель вариации);
2) выяснить причины, которые вызвали вариацию признаков. Разложить общий объем вариации по источникам.
К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Самым простым является размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака (R = xmax – xmin). На заре статистической науки было предложено брать в качестве меры вариации среднее абсолютное значение отклонений от средней величины значений признака, не принимая во внимание их знаки. Такая мера вариации получила название среднего линейного отклонения
.
(5.1)
Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой:
(5.3)
Среднее квадратическое отклонение – показатель степени однородности изучаемой совокупности. Поэтому он может быть использован для оценки надежности средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии
; (5.5)
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии:
1. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии.
2. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз
3. Дисперсия от средней всегда меньше дисперсии, исчисленной от любой другой величины, на квадрат разности средней и условно взятой величины.
При расчете дисперсии используются и другие свойства. Каждое свойство может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Используя эти свойства и применяя способ моментов, можно достаточно быстро исчислить дисперсию.
Альтернативными признаками называются признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Наличие признака обозначим единицей, отсутствие нулем.
Если совокупность разбита на группы (части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности рассчитывают следующие виды дисперсий: общая, групповая (частная), средняя из групповых, межгрупповая.
Общая дисперсия измеряет
вариацию признака во всей совокупности
под влиянием всех факторов, обусловивших
эту вариацию. Общая дисперсия равна
среднему квадрату отклонений отдельных
значений признака
от общей средней
.
Она может быть исчислена как простая
средняя или как
Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности.
Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней). Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.
Средняя из групповых (частных) дисперсий – это средняя арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых:
Межгрупповая дисперсия равна
среднему квадрату отклонений
групповых средних
от общей средней
Между указанными видами дисперсий
существует определенное соотношение:
общая дисперсия равна сумме
средней из групповых дисперсий и
межгрупповой дисперсии:
. (5.26)
Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. С его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий.
Относительные показатели вариации
Для сравнения показателей вариации разных признаков, имеющих существенное различие в уровнях признаков, и для оценки интенсивности вариации используются относительные показатели вариации.
Различают следующие относительные показатели:
1) относительный размах вариации (коэффициент осцилляции)
2) относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации)
3) коэффициент вариации
