6.2. Співвідношення невизначеності Гейзенберга

Хвильові властивості мікрочастинок вносять обмеженості в можливість застосувати до таких частинок поняття координати й імпульсу в їх класичному сенсі (хвиля має довжину!). Тому в квантовій механіці дотримуються положень співвідношення невизначеностей, згідно з якими корпускулярно-хвильовий дуалізм частинок не дає можливості одночасно точно визначити канонічно спряжені величини, наприклад імпульс і координату (або енергію і час) для мікрочастинки.

Співвідношеннями невизначеності Гейзенберга називають нерівності

; , (1.9)

де - , , означають інтервали координат, в яких може бути локалізована частинка, яка описується хвилею де Бройля, коли проекції її імпульсу знаходяться в інтервалах , , відповідно.

Співвідношення Гейзенберга показують, що координати частинки x, y, z і проекції , , її імпульсу не можуть одночасно мати значення в точності рівні x і , y і , z і . Чим точніше визначено положення частинки, тобто чим менші , , , тим менш точніше визначені значення проекцій її імпульсу (тобто тим більші , , ).

Наприклад, положення електрона, який рухається в атомі, може бути визначено з точністю розмірів атома, тобто м. Невизначеність швидкості буде такого ж порядку, що й сама швидкість: .Траєкторія електрона в атомі з точно визначеною в кожній точці швидкістю не має класичного сенсу.

Співвідношення невизначеності для енергії Е і часу t

, (1.10)

де – невизначеність енергії частинки, яка знаходиться протягом часу у стані з енергією Е. Енергія частинки у цьому становищі може бути визначена тим точніше, чим довше частинка знаходиться в ньому.

6.3. Дифракція електронів. Досліди Девісона і Джермера

 Діфракція електронів - пружне розсіяння електронів на кристалах або молекулах рідин і газів, при якому з первинного пучка утворюються відхилені на певні кути додаткові пучки електронів. Кути відхилення від початкового напряму і інтенсивності таких пучків визначаються структурою розсіюючого об'єкту. Дифракція електронів, відкрита в 1927 році К.Девіссоном (С. Davisson) і Л.Джермером (L. Germer), підтвердила справедливість гіпотези Л. де Бройля (L. De Broglie, 1923) про хвилеві властивості частинок.

Відповідно до квантовомеханічних уявлень рух електрона з масою т і імпульсом описується плоскою монохроматичною хвилею, довжина якої визначається співвідношенням де Бройля:

(1)

У прискорюючому електричному полі кінетична енергія поволі рухомого електрона із зарядом е дорівнює придбаній ним енергії еU, де U - пройдена різниця потенціалів. Отже . Підставляючи в (1) вираз для і чисельні значення констант, отримаємо:

. (2)

При швидкостях електрона, зіставних із швидкістю світла с, враховуючи залежність т від (т₀ - маса спокою), отримаємо:

. (3)

Релятивістська поправка (вираз в дужках) істотна для U>10⁵ В. Нижче приведені значення для різних U:

U, В	1	50	100	103	4·104	6·104	105	106
, нм	1,226	0,174	0,12	0,039	0,060	0,0045	0,0037	0,0004

Д ля електронів з енергією від десятків до сотень еВ того ж порядку, що і довжина хвилі рентгенівського випромінювання, такі електрони називають повільними. Електронам з енергією в декілька десятків кеВ відповідають довжини хвиль -випромінювання (десяті долі нм). Електрони таких (і вище) енергій називають швидкими. Електронам з енергією 100-150 еВ відповідають значення порядку розмірів атомів або міжатомних відстаней в кристалах.

2⁰. Такі повільні електрони з енергією близько 100 еВ і використовували Девіссон і Джермер в своїх експериментах. Тонкий пучок електронів падав на грань (111) монокристала нікелю нормально до її поверхні (рис.6.1).

Рис. 6.1. Схема досліду Девіссона і Джермера: К - монокристал нікелю; Э - електронна гармата; Ф - циліндр Фарадея.

При обертанні кристала навколо осі 0 гальванометр, підключений до циліндра Фарадея, реєструє дифракційні максимуми. Розподіл розсіяних електронів реєструвався в досліді під різними кутами за допомогою гальванометра, підключеного до циліндра Фарадея. При цьому були зафіксовані чіткі максимуми (рис. 2), положення яких відповідало умові:

де а - міжатомна відстань в Ni (111), отримане раніше за допомогою рентгенографічних досліджень, а значення обчислювалося за формулою (2). Незабаром після дослідів Девіссона і Джермера Дж. П. Томсон (G. P. Thomson) (і незалежно П. С. Тартаковський) здійснив дифракцію швидких електронів.

Разом з двомірною дифракцією електронів (розсіянням на поверхні кристала) в дослідах Девіссона і Джермера були зафіксовані і максимуми, що відповідають тривимірній дифракції, яку зазвичай розглядають як віддзеркалення первинного пучка електронів від системи паралельної атомної плоскості. В цьому випадку дифракційні максимуми з'являються в напрямах, що відповідають умові Вульфа-Брега:

(4)

де d - міжплощинна відстань, а - кут, під яким спостерігається дифракційний максимум. Аналіз положення відповідних максимумів показав, що умова (4) виконується не зовсім точно.

Рис. 2. Дифракційна картина, отримана в досліді Девіссона і Джермера при різних кутах повороту кристала для двох прискорюючих напруг V, двох значень кута , що визначають положення гальванометра. У дужках вказані індекси кристалографічної плоскості, на якій спостерігалася дифракція.

Це пояснюється існуванням внутрішньокристалічного поля, під впливом якого енергія електронів і, отже, довжина хвилі , з якою електрони входять в кристал, декілька змінюються, тобто на поверхні кристала електронна хвиля випробовує заломлення, причому показник заломлення визначається середнім потенціалом Ф₀ внутрішньокристалічного поля:

Зазвичай Ф₀~10-20 В і для швидких електронів п лише трохи більше одиниці: при Ф₀ = 20 В і U = 100 кВ n = 1+10^-4. Проте для повільних електронів п може бути помітне більше одиниці.

Теорія дифракції електронів будувалася по аналогії з теорією дифракції рентгенівських променів, проте фізична природа цих явищ істотно різна. На відміну від рентгенівських променів, які розсіваються на електронній густині атомів, розсіяння електронів, що володіють електричним зарядом, визначається їх взаємодією з електростатичним полем атома, що створюється як позитивно зарядженим ядром, так і електронною оболонкою атома. Отже, розсіююча здатність атома залежить від його будови і у разных хімічних елементів різна. Кількісно вона характеризується атомною амплітудою розсіяння , пропорційною атомному номеру елементу Z:

,

де  = 2,38·10⁶ см^-1, f_р - атомна амплітуда розсіяння рентгенівських променів. Із зростанням значення f_е швидко падає: (рис. 3). Атомна амплітуда розсіяння характеризує інтенсивність розсіяного пучка, яка ~ .

Р ис. 3. Атомні амплітуди розсіяння електронів для Al, Cu, Ag і Au.

Електрони взаємодіють з атомами в мільйони разів сильніше, ніж рентгенівське випромінювання (і тим більше нейтрони), і амплітуда розсіяння електронів більш ніж на три порядки перевищує амплітуду розсіяння рентгенівських променів. Відповідно інтенсивність розсіяного пучка електронів на 6-7 порядків вища, ніж рентгенівського. Унаслідок інтенсивної взаємодії електронів з атомами дифракційні експерименти проводять у високому вакуумі, а як зразки використовують плівки завтовшки ~10 - 50 нм (у дослідах на проходження) або застосовують метод віддзеркалення, в якому розсіяння відбувається в якнайтоншому поверхневому шарі кристала ~1 -10 нм.

Знаючи значення атомних амплітуд розсіяння і розташування атомів в розсіюючому об'єкті, можна розрахувати дифракційну картину, тобто визначити просторовий розподіл дифракційних максимумів і їх інтенсивності. Найяскравіше дифракція електронів виявляється при розсіянні на кристалах (рис. 4), оскільки в них атоми розташовані впорядковано у вигляді тривимірних дифракційних грат. При розсіянні пучка електронів на газах, рідинах або аморфних тілах, де зберігається лише ближній порядок, зазвичай спостерігається лише декілька розмитих ореолів.

Рис. 4. Дифракційна картина, отримана при проходженні пучка електронів (U = 75 кВ,  = 0,05 А) крізь монокристалічну плівку ZnSe з орієнтацією (111).