1. Декурсивный способ начисления процентов (компаундинг (наращение) и дисконтитрование при начислении ссудных процентов).
Введём следующие обозначения:
P – величина первоначальной денежной суммы;
S – наращенная сумма;
i – относительная величина годовой ставки процентов;
ic – относительная величина сложной годовой ставки процентов;
kн – коэффициент наращения;
n - продолжительность периода начисления в годах;
q – продолжительность периода начисления в днях;
К – продолжительность года в днях.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день.
При этом возможны два варианта:
- вариант 1: используется точное число дней ссуды и точное число дней в году (365 или 366);
- вариант 2: берётся приблизительное число дней ссуды (продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням, а продолжительность года 360 дней). Этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.
Компаундинг. Для простых процентов используются формулы:
или
где
;
Для
сложных процентов
Дисконтирование. Для простых процентов используются формулы:
и
Для
сложных процентов
Пример 1
Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение.
Если
Р=50000 руб., n
=
0,5,
i
=
28%=0,28, то по формуле определения наращенной
суммы
определим: S
=
50 000 (1 + 0,5 ∙ 0,28) = 57 000 (руб.).
Ответ: через полгода наращенная сумма составит 57 000 руб.
Пример 2
Кредит в размере 10 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Решение. По условию задачи Р = 10000 руб, i = 30% = 0,3.
Наращенную
сумму определим по формуле
1. В случае точных процентов берем q = 284. S = 10 000 (1 + 284/366 ∙ 0,30) = 12 328 (руб.).
2. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды (q = 280)
S=10 000 (1+280/360 ∙ 0,30) = 12 333 (руб.).
Ответ: наращенная сумма составит: в случае расчёта точных процентов – 12328 руб., для обыкновенных процентов с приближённым числом дней – 12333 руб.
Пример 3. Организация-инвестор планирует получить через 2 года 1 000 000 руб. Какую сумму необходимо инвестировать при простой и сложной процентной ставке 10% годовых?
Решение. По условию задачи S=1000000 руб.; i =10%=0,1 и ic = 10% = 0,1.
При начислении простой процентной ставки используем формулу
руб.
Тогда доход организации-инвестора составит: 1 000 000 – 833 333 = 166 667 руб.
Эти же расчеты, проведенные на основе сложных процентных ставок, показывают:
руб.
Доход организации-инвестора: 1 000 000 – 826 446 = 173 554 руб.
2. Антисипативный (предварительный) способ начисления процентов
При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления, т.е. из наращенной суммы. Так как проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заёмщик, естественно получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учётной ставке, а так же коммерческим или банковским учётом.
Введём следующие обозначения:
d - относительная величина учётной ставки;
P – сумма, получаемая заёмщиком;
S – сумма, которая должна быть возвращена;
n - продолжительность периода начисления в годах;
q – продолжительность периода начисления в днях;
К – продолжительность года в днях.