2.6. Соотношения на границе раздела двух диэлектриков для электрических величин

      Рассмотрение свойств электростатического поля в неоднородной диэлектрической среде было бы неполным без анализа зависимостей между компонентами соответствующих векторных полей по разные стороны от границы раздела свойств диэлектрика.

      Рассмотрим сначала зависимость между нормальными к поверхности раздела компонентами векторного поля . Пусть в окрестности произвольной точки поверхностираздела двух сред выделена малая площадкаи выбрано положительное направление нормали. Среда, расположенная в "положительном" пространстве относительно поверхности, описывается величинами с индексом 2, а среда в "отрицательном" пространстве относительно поверхности, описывается величинами с индексом 1. Из каждой точки контура, ограничивающего площадку, восстановим перпендикуляр к поверхностии отложим в среде 2 и среде 1 на этом перпендикуляре отрезок. Поверхность площадокивместе с боковой поверхностью(рис. 2.10) образуют замкнутую поверхность, охватывающую объем с различающимися локальными характеристиками. К рассматриваемому объему применима теорема Гаусса для векторного поляв интегральной форме:

     

(2.38)

     где -вектор внешней нормали к элементу площади боковой поверхности,- суммарная величина свободных зарядов внутри рассматриваемого объема:

     .

	(2.39)
Рис. 2.10.

     При записи выражения (2.39) учтено, что в среде 1 и среде 2 может существовать объемная плотность свободных электрических зарядов, а сама поверхность может дополнительно содержать свободные заряды с поверхностной плотностью.

      В математическом анализе известна оценка максимальной величины интеграла :

     

.

     С учетом этой оценки можно получить неравенства

     

     При эти интегралы стремятся к нулю, площадка, площадка, и в итоге получается условие:

     

.

(2.40)

     Замечая, что , приходим к соотношению:

     

.

(2.41)

     Поскольку соотношение (2.41) должно выполняться для произвольной площадки , то из интегрального условия(2.41) следует локальное:

     

.

(2.42)

     Сформулируем полученный результат: нормальные компоненты векторного поля на границе раздела двух сред испытывают скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов.

      Соотношение (2.42) теряет силу для точек поверхности , в которых расположены точечные заряды, и для линий, лежащих на поверхностии заряженных погонной плотностью свободных зарядов.

      Заметим, что теоремы Гаусса для векторных полей ипо форме не отличаются от теоремы Гаусса для поля, поэтому, в частности, справедливо условие

     

,

(2.43)

      - поверхностная плотность связанных зарядов, расположенных на поверхности раздела двух сред. Поскольку чаще всего эта величина неизвестна, то соотношение(2.43) используют для ее расчета.

      Векторное поле напряженности электростатического поля и в диэлектрической среде остается потенциальным:

     

.

(2.44)

     Действительно, единственным ограничением при выводе условия (2.44) было требование неподвижности электрических зарядов, формирующих это поле. В условиях электростатики и свободные, и связанные заряды неподвижны, следовательно, условие (2.44) имеет место.

     Получим локальное условие для компонент вектора напряженности электростатического поля на границе раздела двух диэлектриков. В окрестности произвольной точки поверхностираздела двух сред после выбора положительного направления нормали рассмотрим замкнутый контур, показанный на рис. 2.11.

Рис. 2.11.

      В силу условия (2.44) получаем

     

     В этом соотношении 4 последних интеграла в левой части пропорциональны величине и приих величины также стремятся к нулю.

      В итоге, когда отрезок контура "ложится" на отрезок, отрезок контура"ложится" на отрезок, их направления противоположны, получаем интегральное условие

     

,

(2.45)

     откуда в силу произвольности отрезка контура получаем условие:

     

.

(2.46)

     Сформулируем полученный результат: тангенциальные (касательные) компоненты векторного поля непрерывны при переходе через границу раздела двух сред.

      Заметим, что касательные компоненты векторного поля однозначно формируют касательные компоненты векторных полейи, если среды изотропны. Поэтому условия(2.46) достаточно для получения соотношений связи касательных компонент векторных полей ина границе раздела двух сред.

      В заключение раздела отметим, что интегральная форма теоремы Гаусса, дифференциальная форма теоремы Гаусса и соотношения на поверхности раздела сред органически связаны друг с другом и одно немыслимо без другого.

Рис. 2.12. Излом силовых линий векторных полей ина границе раздела двух сред