Глава 4. Магнитное поле в веществе (феноменологическое описание)

4.1. Магнитный диполь

      Пусть в некотором конечном объеме безграничного пространства текут электрические токи с объемной плотностью. Предположим, что для рассматриваемого объема выполнено условие

     

(4.1)

     Введем в рассмотрение величину

     

(4.2)

     которую назовем магнитным моментом системы токов в объеме . В определении(4.2)- радиус-вектор элемента тока. Можно проверить, что величина(4.2) характеризует систему токов в объеме и не зависит от выбора положения начала координат системы отсчета. Действительно, если

     

     то

     

     Учитывая условие (4.1), убеждаемся, что

     

.

      Если ток течет по тонкому проводнику, имеет место очевидная заменапри этом направление токасчитается положительным, если оно совпадает с направлением ориентированного отрезка контура. В этом случае

     

,

(4.3)

     если выполнено условие

     

.

(4.4)

     В простейшем случае замкнутого контура величина постоянна для всех элементоврассматриваемого контура, что приводит к соотношениям:

     

.	(4.5)
Рис. 4.1. К определению дипольного момента контура с током

     Заметим, что второе из соотношений (4.5) - формальное требование замкнутости контура.

      Векторное произведение в первом из соотношений (4.5) можно преобразовать:

     

,

     где - ориентированный элемент площади треугольника, образованного векторамии. С учетом этого преобразования получаем:

     

.

(4.6)

     Допустим, что на рассматриваемый контур с током"натянута" поверхность, для которой выполнены известные условия непрерывности и гладкости. Боковая поверхность конуса , составленная из элементов поверхностии поверхностьв совокупности образуют замкнутую поверхность, для которой

     

.

(4.7)

     Заметим, что выражение (4.7) справедливо, если нормаль к поверхности направлена внутрь конического тела.

      Из соотношения (4.7) следует:

     

,

     а если сменить направление нормали к элементу поверхности на противоположное, то получим

     

.

     Таким образом, магнитный момент пространственного (не лежащего целиком в какой-либо плоскости) замкнутого контура с током определен соотношением:

     

.

(4.8)

     Следует заметить, что в рассмотренном построении естественным образом возникло правило согласования между собой положительного направления обхода контура (направление ) и направления нормалик элементам поверхности, натянутой на этот контур.

      Если замкнутый контур с током является плоским, тогда вектор нормали к плоской поверхности сохраняет одно и то же направление для всех элементов плоской поверхности, величину можно вынести из под знака интеграла(4.8), а оставшееся выражение проинтегрировать:

     

(4.9)

     Заметим, что для плоского контура справедливы формулы и (4.8) и (4.9),

Рис. 4.2. Дипольный момент плоского контура с током

     только поверхность в выражении (4.8) - произвольная, а в выражении (4.9) - обязательно плоская.

Рис. 4.3. Элементарный контур с током

      Для более отчетливого выявления физического понятия "магнитный момент контура с током" рассмотрим равномерное движение частицы с массой и электрическим зарядомв выражении(4.8) - по окружности радиуса со скоростью.

      Длина окружности определена соотношением , циклическая частота прохождения заряженной частицей контрольной точки траектории равна. Последнее означает, что зарядза единицу временираз пересечет контрольное сечение. Получается, что рассматриваемое движение заряженной частицы эквивалентно элементарному току

     

.

     Если учесть, что площадь кругам равна , то для величины магнитного момента получим выражение:

     

.

(4.10)

     Механический момент количества движения рассматриваемой частицы по определению равен

     

.

(4.11)

     Для положительно заряженной частицы вектор и векторсовпадают по направлению. Для отрицательно заряженной частицынаправление тока по контуру противоположно направлению движения частицы (понятие "ток" вводят первоначально как движение положительных зарядов). Из соотношений(4.10) и (4.11) следует

     

.

(4.12)

     Величина называется "гиромагнитным отношением", для отрицательно заряженных частиц гиромагнитное отношение отрицательно.

      Формула (4.12) вскрывает связь между моментом количества движения (механическая система) и магнитным моментом системы токов (электрическая система). Для отдельно взятой заряженной материальной частицы наличие момента количества движения с необходимостью влечет наличие магнитного момента системы. Для системы частиц дело обстоит сложнее. Проблема решается с помощью принципа суперпозиции как по моменту количества движения, так и по магнитному моменту системы элементарных токов. Вполне возможными являются случаи и наоборот.