Глава 3. Стационарное магнитное поле в вакууме

3.1. Опыты Эрстеда. Опыты Ампера. Опыты Кулона. Закон Био- Савара-Лапласа

      При рассмотрении свойств магнитостатического поля будем исходить из соотношения для элементарной силы взаимодействия двух отрезков контуров и, по которым текут токиисоответственно и которые находятся на расстояниидруг от друга

     

	(3.1)
Рис. 3.1. Взаимодействие малых отрезков с токами по закону Ампера

     Соотношение (3.1) называют "законом Ампера". В этом соотношении проводится из точки расположения элементав точку расположения элемента.

      Закон Ампера (3.1) является основой физики магнитных явлений подобно тому, как закон Кулона является основой физики электрических явлений.

      Исследование свойств магнитного поля является более трудной задачей, чем исследование свойств электрического поля. Если закон Кулона описывает так называемые центральные силы, то закон Ампера описывает силы, не обладающие этим свойством. Если электрическое поле (электростатика) является потенциальным, то магнитное поле совсем не обязано быть таковым. Общее, что имеет место в законе Кулона и законе Ампера - это зависимость "обратных квадратов". Закон Ампера в форме (3.1) представляет собой пример сил, не подчиняющихся напрямую третьему закону Ньютона: сила действия здесь не равна силе противодействия.

     Справедливости ради заметим, что сам Ампер получил совсем другое аналитическое выражение для силы . Его заслугой является экспериментальное доказательство взаимодействия проводника с током с полем постоянного магнита и взаимодействия между собой двух проводников с током. Незадолго до него Эрстед обнаружил влияние тока, текущего в проводнике, на магнитную стрелку. В результате опытов Эрстеда и Ампера электрические и магнитные явления оказались связанными между собой.

      Задолго до опытов Ампера Кулон проводил эксперименты по взаимодействию между собой постоянных магнитов. Из этих опытов следовало, что, если полюсам магнита приписать значения "магнитных зарядов" разных знаков, то закон обратных квадратов при описании силы их взаимодействия будет выполняться. Кулон отмечал невозможность получить магнит с зарядом одного знака.

      Успехи механики (закон всемирного тяготения) и электростатики (закон Кулона), опыты Кулона с постоянными магнитами - все это способствовало проявлению инерции мышления, поэтому Ампер полагал, что сила взаимодействия двух элементов тока должна быть центральной (как сила Кулона).

      Это предположение Ампера, как и предположение Кулона о существовании магнитных зарядов, оказалось несостоятельным.

     Структура закона Ампера (3.1) позволяет ввести в рассмотрение дифференциал индукции магнитного поля

     

(3.2)

     где -магнитная постоянная,- ток, создающий вокруг себя магнитное поле,- вектор, проведенный из элемента контура с токомв точку наблюдения.

      Соотношение (3.2) называют законом Био-Савара-Лапласа.

      Для индукции магнитного поля справедлив принцип суперпозиции, поэтому

     

(3.3)

     где - контур, по элементам которого течет ток(по направлению векторатоксчитается положительным).

      Если проводящее тело нельзя считать тонким проводником, то, используя соотношение

     

(3.4)

     где - объемная плотность тока,- элемент объема тела, получим:

     

,

(3.5)

     где - объем тела, в котором текут токи.

      Соотношение (3.1) с учетом определения (3.2) можно переписать в форме:

     

,

(3.6)

     где элемент тока находится в векторном поле магнитной индукции, в поле, внешнем по отношению к рассматриваемому элементу. Соотношение(3.6) легко обобщается на случай суммарного воздействия на элемент с током "всех внешних элементов тока"(3.3):

     

.

(3.7)

     Результирующая сила, действующая на контур с током (замкнутый или незамкнутый) во внешнем магнитном поле с магнитной индукцией определяется по принципу суперпозиции:

     

.

(3.8)

     Частным случаем выражения (3.8) для однородного поля и прямого отрезка проводника является известное из элементарного курса выражение для модуля силы Ампера:

     

,

(3.9)

     где - угол между положительным направлением отрезка, по которому течет ток, и вектором магнитной индукции.

      Заметим, что соотношение (3.7) является следствием зависимости, описывающей силу Лоренца

     

(3.10)

     эта зависимость упоминалась в начале курса. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

      Если рассматривается система, которая состоит из конечного числа положительных и отрицательных электрических зарядов, то результирующая сила, действующая на систему, может быть записана в виде:

     

.

(3.11)

     Выражение (3.11) справедливо, если размеры электрической системы малы настолько, чтобы можно было считать величины иоднородными.

      В проводнике любого типа при протекании электрического тока с большой точностью выполняется условие электрической нейтральности. Физически это означает, что выполнено условие

     

.

(3.12)

     Последнее служит объяснением, почему в зависимости (3.7) не учитывают неподвижные электрические заряды и напряженность электрического поля , даже в том случае, когда полесуществует. Перепишем формулу(3.11) с учетом условия (3.12):

     

(3.13)

     При записи (3.13) учтено дополнительное предположение, введенное для упрощения выкладок, что все положительные заряды системы равны между собой, все отрицательные заряды системы тоже равны между собой. Важным шагом при построении соотношения (3.13) явилось введение средней скорости движения положительных и отрицательныхэлектрических зарядов.

      Если в качестве системы зарядов рассматривать заряды в металлическом проводнике, то следует положить

     

(3.14)

     после чего из формул (3.13) получаем:

     

,

(3.15)

     где число,-электрический заряд движущихся отрицательных частиц (электронов проводимости).

      Для числа таких частиц, где- объемная концентрация электронов проводимости,- площадь поперечного сечения тонкого проводника,- элемент длины проводника, а-элемент объема, легко получить:

     

(3.16)

     

(3.17)

     

(3.18)

     С использованием выражений (3.16)- (3.18) получаем:

     

(3.19)

     что совпадает с выражением (3.7).

      При использовании закона Био-Савара-Лапласа (3.2) и следствий из него (3.3) или (3.5) удобно перейти к описанию положения элемента тока и точки наблюдения с помощью понятия "радиус-вектор". Если - радиус вектор элемента тока(или), а-радиус-вектор точки наблюдения, то

     

,

(3.20)

     

,

(3.21)

     

(3.22)

     где и- орты декартовой системы координат.

Рис. 3.2. Магнитное поле элемента контура с током по закону Био-Савара-Лапласа.

     Если уравнение контура задано в параметрической форме

     

(3.23)

     т. е. ,, то

     

(3.24)

     

,

(3.25)

     что существенно облегчает вычисления.

      Вернемся к рассмотрению выражения (3.20). Легко видеть, что имеют место следующие соотношения:

     

(3.26)

     Вычисляя непосредственно выражения и, получаем значение