1.5. Уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля. Понятие о краевых задачах в теории потенциала и методах их решения

      Проблема расчета электростатического поля в общем случае не является безнадежной. Действительно, если вспомнить выражение векторного поля через потенциал электростатического поля

     

,

(1.65)

     то есть

     

,

(1.66)

     и подставить выражение (1.65) в формулу (1.60), то получим уравнение

     

.

(1.67)

     Уравнение (1.67) называют уравнением Пуассона, в частном случае оно превращается в уравнение Лапласа. В операторной форме уравнение Пуассона имеет вид:

     

,

(1.68)

     где - оператор Лапласа (лапласиан)

     

(1.69)

     в декартовой системе координат. Иногда оператор Лапласа записывают в форме произведения двух операторов Гамильтона (операторов "набла"):

     

.

(1.70)

     Заметим, что формы записи оператора различны в различных системах координат.

      Уравнение Пуассона является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. В общем случае уравнение (1.67) может иметь бесчисленное множество решений. Единственное решение уравнения (1.67) получается, если на границе области, в которой рассматривается это уравнение, заданы граничные условия первого рода (задача Дирихле), второго рода (задача Неймана) или третьего рода. В первом случае на границе области считается известной искомая функция, во втором - ее нормальная производная, в третьем - линейная комбинация функции и ее нормальной производной. Современная математика располагает многими методами решения так называемых краевых задач, как аналитическими, так и численными, а современное математическое обеспечение персональных компьютеров содержит в своем составе "решатели" краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона.

      В настоящее время можно говорить о том, что задача расчета произвольного электростатического поля особых, принципиальных трудностей не представляет.

      Значимость уравнения Пуассона для проблем электростатики заключается в том, что с его помощью решение может быть найдено практически всегда, а с помощью теоремы Гаусса только в исключительных случаях.

      Задача 1⁽. Пространство между двумя параллельными бесконечными плоскостями заполнено постоянной объемной плотностью заряда . Расстояние между плоскостями равно. Потенциал одной плоскости равен 0, второй -. Найти распределение по поперечной координатеи, используя уравнение Пуассона.

Глава 2. Электростатическое поле в веществе (феноменологическое описание)

2.1. Электрический диполь. Поле диполя

      Рассмотрим систему двух точечных электрических зарядов и, произвольным образом расположенных в пространстве на расстояниидруг от друга. Такую систему зарядов назовем

Рис. 2.1. Электрический диполь

     электрическим диполем. Из точки расположения отрицательного заряда в точку расположения положительного заряда проведем вектор (Рис. 2.1). Электрическим моментом диполя (дипольным моментом) назовем физическую величину

     

(2.1)

     Понятие "электрический диполь" широко используется в электродинамике. Изучим свойства описанной системы.

      Электрический диполь создает вокруг себя электрическое поле, которое нетрудно рассчитать с использованием принципа суперпозиции. Однако на расстояниях, значительно превышающих размер диполя, электростатическое поле обладает некоторыми характерными свойствами, представляющими интерес для дальнейшего изложения предмета.

Рис. 2.2. Поле электрического диполя

      Рассмотрим физическую ситуацию, изображенную на рис. 2.2. Здесь - точка наблюдения,и- векторы, проведенные из точек расположения соответствующих зарядов в точку наблюдения, векторописан выше.

      Рассчитаем значение потенциала электростатического поля в точке наблюдения в предположении, что потенциал бесконечно удаленной точки пространства равен нулю и. Ниже под величинамибудем понимать модули соответствующих векторов. Точное выражение для потенциала в точкеимеет вид:

     

.

(2.2)

     Векторы исвязанны между собой зависимостью

     

,

(2.3)

     что позволяет переписать выражение (2.2) в форме:

     

.

(2.4)

     В полученном выражении опустим член как малую величину и опустим индекс "+" у модуля соответствующего вектора:

     

     С учетом обозначения (2.1) получаем:

     

,

(2.5)

     где - угол между вектороми направлением на точку наблюдения. Заметим, что если сравнивать между собой потенциал поля точечного заряда и потенциал поля диполя, легко увидеть, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда.

      Напряженность электростатического поля в точке наблюдения можно было бы вычислить, используя зависимость, но вычисление градиента скалярного произведения требует привлечения довольно громоздкой формулы векторного анализа, поэтому используем прямое вычисление:

     

.

(2.6)

     Аналогично предыдущему воспользуемся тем обстоятельством, что :

     

     Упрощение последнего выражения с учетом малости приводит к соотношению:

     

(2.7)

     где ,имеет то же значение, что и выше. Если ограничиться направлением, перпендикулярным направлению дипольного момента (), то становится очевидным, что величина напряженности электрического поля диполя в дальней зоне убывает с расстоянием быстрее, чем убывает величина напряженности поля, образованного одиночным точечным зарядом.