3.2. Дифференциальная и интегральная формы теоремы Гаусса для вектора индукции магнитного поля

      Итак, мы получили, что из закона Ампера (и закона Био-Савара-Лапласа) следует уравнение

     

.

(3.27)

     В силу принципа суперпозиции для индукции магнитного поля из (3.27) получаем фундаментальное соотношение для магнитного поля

     

.

(3.28)

     Таким образом, теорема Гаусса для векторного поля магнитной индукции в дифференциальной форме - соотношение (3.28) - является непосредственным следствием закона Био-Савара-Лапласа. Ее интегральный аналог имеет вид:

     

,

(3.29)

     что доказывает в силу произвольности замкнутой поверхности , что в природе отсутствуют магнитные заряды. Последнее заключение вытекает из сравнения выражения(3.29) с теоремой Гаусса для вектора в электростатике:

     

,

(3.30)

     где - свободный электрический заряд внутри замкнутой поверхности.

      Если ввести в рассмотрение элемент потока векторного поля через элемент поверхностис нормалью:

     

(3.31)

     и определить величину потока вектора магнитной индукции через поверхность выражением

     

,

(3.32)

     то теорема Гаусса для поля в интегральной форме сводится к утверждению:

     

.

(3.33)

3.3. Векторный потенциал магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля

      Из теоремы Гаусса для векторного поля в дифференциальной форме(3.28) следует, что поле можно представить в виде ротора вспомогательного векторного поля, называемого векторным потенциалом:

     

,

(3.34)

      поскольку . Физический смысл в магнитостатике приписывают векторному полю, поэтому векторный потенциал, вообще говоря, определен с точностью до градиента любой скалярной функции. Действительно, если, где- скалярное поле, и, то имеем:

     , то есть для, поскольку.

      Произвол в определении векторного потенциала можно использовать, потребовав дополнительно выполнения условия

     

.

(3.35)

      Условие (3.35) называют "кулоновской калибровкой векторного потенциала магнитного поля".

      Условие (3.35) влечет за собой далеко идущие последствия, поэтому весьма важным является вопрос, во всех ли случаях магнитное поле обладает указанными свойствами.

     Из соотношений (3.2) и (3.4) следует, что магнитное поле, образованное отдельным точечным электрическим зарядом , движущимся со скоростью, имеет вид:

     

.

(3.36)

     Векторный потенциал такого поля описывается выражением:

     

.

(3.37)

     В современной магнитостатике не существует методики вывода выражения (3.37), его необходимо просто угадать, но зато можно проверить:

     

.

(3.38)

     Сравнивая между собой выражение (3.37) для векторного потенциала и выражение для скалярного потенциала электростатического поля отдельного точечного электрического заряда

     

,

(3.39)

     получаем зависимость:

     

.

(3.40)

     Зависимость (3.40) имеет глубокий физический смысл: закон Кулона и закон Ампера являются внутренне связанными между собой, не надо думать, что они полностью независимы друг от друга.

      Из соотношений (3.39) и (3.37) можно получить:

     

,

(3.41)

     

,

(3.42)

     где - объемная плотность электрического заряда,- вектор объемной плотности тока,- элемент объема. Обращает на себя внимание идентичность форм записи выражений(3.41) и (3.42), особенно, если последнее рассматривать в координатной форме.

      Но если для потенциала электростатического поля справедливо уравнение Пуассона

     

,

(3.43)

     то для поля векторного потенциаладолжно иметь место аналогичное уравнение:

     

.

(3.44)

     Формально:

     

.

(3.45)

      Если при этом выполнено условие (3.35), то из уравнения (3.44) следует второе фундаментальное свойство магнитного поля:

     

.

(3.46)

     Покажем, что условие (3.35) действительно выполняется. Из выражения (3.42) следует:

     

,

(3.47)

     где - объем, в котором текут токи с объемной плотностью. В выражении(3.47) штрихованные переменные описывают место расположения элемента тока , а не штрихованные - положение точки наблюдения. Величина, при заданной конфигурации токов она зависит от координат точки наблюдения.

     Дивергенцию векторного поля следует вычислять по координатам точки наблюдения:

     

.

(3.48)

     Формально

     

,

     где операция выполняется по штрихованным переменным. Полученное справа выражение по форме сложнее, но имеет два преимущества. Первое из них состоит в возможности воспользоваться уравнением сохранения электрического заряда в условиях магнитостатики:

     

,

(3.49)

     благодаря чему второе слагаемое в правой части просто обращается в нуль. Второе преимущество состоит в возможности преобразовать объемный интеграл в поверхностный по теореме Остроградского-Гаусса. В итоге имеем:

     

.

(3.50)

     При расчете величины необходимо учитывать вклад всех токов, текущих в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью. Эти токи не могут пересечь поверхность, последнее означало бы возможность накопления заряда вне объема, что недопустимо по условиям магнитостатики. Это означает, что в каждой точке поверхностидолжно выполняться условие

     

,

(3.51)

     что приводит к результату (3.35).

     

Рис. 3.3. К вопросу о циркуляции вектора магнитной индукции по замкнутому контуру

     Вернемся к уравнению (3.46). В силу математической теоремы Стокса получаем:

     

.

     Иными словами говоря, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру, равна потоку вектора объемной плотности токачерез произвольную поверхность, натянутую на этот контур, если направление обхода контура и направление нормали к поверхностисогласованы между собой по правилу правого винта:

     

.

(3.52)

     Основные результаты настоящего раздела:

      Отсутствие магнитных зарядов в природе,

     вихревой (непотенциальный) характер поля :

     

(3.53)

     и все это следствие законов Ампера и Био-Савара-Лапласа.