Глава 7. Система уравнений максвелла как основа классической электродинамики

7.1. Дифференциальная и интегральная формы системы уравнений Максвелла. Физическое содержание теории Максвелла

      В основе современной классической электродинамики лежит система уравнений Максвелла. Дифференциальная форма системы уравнений Максвелла в системе единиц СИ имеет вид:

     

(7.1)

     

(7.2)

     

(7.3)

     

(7.4)

     

(7.5)

     

(7.6)

     

(7.7)

     Уравнениям (7.1)- (7.4) соответствуют интегральные формы записи:

     

,

(7.1')

     

,

(7.2')

     

,

(7.3')

     

,

(7.4')

     где - величина свободного заряда в объеме, охватываемом замкнутой поверхностью, а величина "сила тока"определена соотношением

     

.

(7.8)

     Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что выбор положительного направления обхода контуров в левых частях уравнений(7.1') и (7.2') согласован с выбором направления нормали к элементуповерхностив поверхностных интегралах правой части упомянутых уравнений: обход контура должен производиться против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора. Иначе, если тело человека ориентировано по вектору, то двигаться вдоль контура надо так, чтобы область внутри контура оставалась слева.

      В уравнениях (7.3') и (7.4') используется внешняя нормаль по отношению к объему, ограниченному рассматриваемой замкнутой поверхностью.

      В определении (7.8) направление нормали в поверхностном интеграле задает положительное направление, с учетом которого определяется алгебраическая величина силы тока.

      Интегральная форма записи уравнения (7.7) представляет собой хорошо известный из элементарного курса физики закон Ома:

     

.

(7.7')

     Уравнение (7.7') записано для неразветвленного участка цепи, который содержит ЭДС (электродвижущую силу) , имеет сопротивление, ток по которому течет от сечения 1 к сечению 2,и- потенциалы электрического поля для рассматриваемых сечений. В отсутствие ЭДС из уравнения(7.7') следует уравнение закона Ома в форме

     

     где - напряжение между граничными сечениями участка цепи.

      Наиболее последовательное представление о природе электромагнитного поля состоит в том, что система уравнений Максвелла принимается как постулат, как теоретическое обобщение всех известных экспериментальных законов электромагнетизма, как то целое, из которого как частные случаи следуют отдельные физические закономерности.

      Значимость системы уравнений Максвелла для электродинамики можно сравнить со значимостью законов Ньютона для механики и открытием закона всемирного тяготения.

      В чем принципиальная новизна представлений Максвелла о природе электромагнитного поля? Явление электромагнитной индукции было описано законом электромагнитной индукции Фарадея и правилом Ленца:

     

.

(7.9)

     Внешне оно похоже на уравнение (7.1') системы уравнений Максвелла. Но М. Фарадей и Э.Х. Ленц рассматривали явление электромагнитной индукции как явление в электропроводящем контуре. Д.К. Максвелл постулировал, что циркуляция напряженности электрического поля по замкнутому контуру возникает всегда, когда меняется величина потока магнитной индукции через поверхность, натянутую на этот контур, безотносительно к тому, возникает ли в контуре электрический ток под действием электродвижущей силы индукции.

      Особенно наглядно проявляется новизна представлений Максвелла о природе электромагнетизма в записи уравнения (7.1). В переменном векторном поле частная производная по времени от векторане равна нулю. Это означает, что переменное векторное поле, в отличие от электростатики, становится вихревым, оно перестает быть потенциальным! (Не надо думать, что для переменного электромагнитного поля нельзя ввести понятие потенциала, но силовые характеристикииописываются при этом совокупностью скалярного потенциала, переменного во времени, и векторного потенциала, тоже переменного во времени. Работа по перемещению точечного заряда по замкнутому контуру в этих условиях может оказаться не равной нулю).

      В магнитостатике (электрические токи не меняют своей величины и направления, в рассматриваемой системе не накапливаются электрические заряды) известно уравнение

     

(7.10)

     и его интегральный аналог - теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру:

     

,

(7.11)

     где - сила тока, пронизывающая произвольную поверхность, натянутую на рассматриваемый замкнутый контур.

     Использование уравнения (7.11) затруднено при анализе процесса зарядки-разрядки конденсатора: на замкнутый контур , расположенный в пространстве между обкладками конденсатора, можно натянуть поверхность, которая целиком находится между обкладками, ток проводимости через нее не течет. Вторая возможность - поверхность охватывает одну из обкладок конденсатора, через нее течет сила тока проводимости.

      В соответствии с уравнением (7.11) мы должны получить различные значения циркуляции поля по рассматриваемому замкнутому контуру. Такая неоднозначность противоречит физическому принципу, согласно которому физическая величина должна определяться независимо от метода расчета.

Рис. 7.1. К вопросу о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру

Рис. 7.2. "Парадокс" применения теоремы о циркуляции вектора по замкнутому контуру ()

      Максвелл ввел в уравнение (7.11) дополнительный "ток смещения"

     

(7.12)

     и постулировал "закон полного тока" в форме (7.2'). Все противоречия при описании рассматриваемой выше физической ситуации оказались снятыми.

      При выяснении физического смысла уравнения (7.2) оказывается, что в отсутствие объемной плотности тока проводимости магнитное поле может быть порождено переменным электрическим полем, это магнитное поле оказывается вихревым.

      Рассматривая уравнения (7.1) и (7.2) совместно, замечаем, что переменное поле порождает вихревое поле, а переменное полепорождает вихревое поле. Гениальность открытия Максвелла состоит в выявлении этой "симметрии" взаимодействия электрического и магнитного полей как единого электромагнитного поля.

      Заметим также, что знакомые нам из предыдущих разделов курса уравнения (7.3) и (7.4) и соответствующие им уравнения (7.3') и (7.4') также подверглись переосмысливанию. Вспомним, что уравнение (7.3) в электростатике являлось следствием закона Кулона в полевой формулировке. Точечный заряд , который создавал вокруг себя электрическое поле, при этом покоился. Тот факт, что уравнение(7.3) остается справедливым и в системе координат, относительно которой этот заряд движется и не обязательно с постоянной скоростью, является далеко не тривиальным.

      В технических ВУЗах России принято при изложении курса электромагнетизма как раздела общего курса физики придерживаться истории развития учения об электромагнитных явлениях. Изложение на основе принятия как исходного постулата системы уравнений Максвелла (от общего к частному) требует значительно меньше дополнительных предположений, чем при традиционном варианте изложения предмета.