34.Робота в електростатичному полі. Потенціал поля точкового заряду, системи зарядів.

35.Зв'язок між напруженістю та потенціалом електростатичного поля.

Для встановлення зв'язку між силовий характеристикою електричного поля - напруженістю і його енергетичної характеристикою - потенціалом розглянемо елементарну роботу сил електричного поля на нескінченно малому переміщенні точкового заряду q: d A = q E d l, ця ж робота дорівнює убутку потенційної енергії заряду q: d A = - d W _п = - q d , , где d де d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения d l . - Зміна потенціалу електричного поля на довжині переміщення d l. Приравнивая правые части выражений, получаем: E d l = - d Прирівнюючи праві частини виразів, отримуємо: E d l = - d или в декартовой системе координат або в декартовій системі координат

E _x d x + E _y d y + E _z d z = - d E _x d _x + E _y d _y + E _z d _z = - d , (1.8) , (1.8)

где E _x , E _y , E _z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. де E _x, E _y, E _z - проекції вектора напруженості на осі системи координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем Оскільки вираз (1.8) являє собою повний диференціал, то для проекцій вектора напруженості маємо

откуда звідки

. .

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j , т. е. Що стоїть у дужках вираз є градієнтом потенціалу ,j тобто

E E = - grad = - Grad = - Ñ = - Ñ . .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Напруженість в будь-якій точці електричного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з протилежним знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E Знак «мінус» вказує, що напруженість E направлена в сторону убывания потенциала. направлена у бік зменшення потенціалу.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Розглянемо електричне поле, що створюється позитивним точковим зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М , положение которой определяется радиус-вектором r , равен Потенціал поля в точці М, положення якої визначається радіус-вектором r, дорівнює = q / 4 p e ₀ e r . = Q / 4 p e ₀ e r. Направление радиус-вектора r Напрямок радіус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E , а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. збігається з напрямком вектора напруженості E, а градієнт потенціалу спрямований у протилежний бік. Проекция градиента на направление радиус-вектора Проекція градієнта на напрям радіус-вектора

. .

Проекция же градиента потенциала на направление вектора t , перпендикулярного вектору r , равна Проекція ж градієнта потенціалу на напрям вектора ,t перпендикулярного вектору r, дорівнює

, ,

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( тобто в цьому напрямку потенціал електричного поля є постійною величиною ( = const ) . = Const).

В рассмотренном случае направление вектора r У розглянутому випадку напрямок вектора r совпадает с направлением збігається з напрямком рис. рис. 1.6 1.6

силовых линий. силових ліній. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков . Узагальнюючи отриманий результат, можна стверджувати, що у всіх точках кривої, ортогональної до силових ліній, потенціал електричного поля однаковий. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям. Геометричним місцем точок з однаковим потенціалом є Еквіпотенціальна поверхню, ортогональна до силових ліній.

рис. рис. 1.7 1.7

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. При графічному зображенні електричних полів часто використовують еквіпотенціальні поверхні. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. Зазвичай еквіпотенціалі проводять таким чином, щоб різниця потенціалів між будь-якими двома еквіпотенціальними поверхнями була однакова. На рис. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. 1.7 наведена двомірна картина електричного поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали - штриховыми. Силові лінії показані суцільними лініями, еквіпотенціалі - штриховими.

Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Подібне зображення дозволяє сказати, в яку сторону направлений вектор напруженості електричного поля; де напруженість більше, де менше; куди почне рухатися електричний заряд, поміщений в ту чи іншу точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Так як всі крапки еквіпотенційної поверхні знаходяться при однаковому потенціал, то переміщення заряду вздовж неї не вимагає роботи. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению. Це означає, що сила, що діє на заряд, весь час перпендикулярна переміщенню.