Определитель

Определитель - это число равное выполненной по определенным правилам сумме произведений элементов квадратной матрицы

a_{1 1} . . . a_{1 n}

. . . . . . .

det A = A = . . . . . . . (3.4)

. . . . . . .

a_{n 1} . . . a_{n n}

Порядок определителя соответствует порядку матрицы.

Определитель равен произведению диагональных элементов треугольной или диагональной матрицы. При преобразовании матрицы к желаемому виду учитываются следующие свойства определителя:

1. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки ( или

столбца ) прибавить элементы другой строки ( или столбца ), умно-

женные на одно и то же число.

2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (или

двух столбцов).

3. Общий множитель всех элементов строки ( или столбца ) можно вы-

нести за знак определителя.

4. Определитель, имеющий хотя бы две одинаковые строки (или столб-

ца) равен нулю.

Вычисление определителя сводится к преобразованию квадратной мат-

рицы к треугольной или диагональной и последующему перемножению диагональных элементов. Значение определителя квадратной матрицы a_n*n в предположении, что все диагональные элементы отличны от нуля, может быть вычислено с помощью следующей функции:

function det(n:integer;a:matr):real;

var i,j,k:integer;d:real;

begin d:=1;for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]-a[j,i]*a[i,k]/a[i,i];

for i:=1 to n do d:=d*a[i,i];det:=d

end;

Так как решение системы линейных уравнения по методу Гаусса пред-полагает приведение матрицы системы к треугольному или диагонально-му виду, то легко совместить вычисление определителя с решением си-стемы уравнений, что будет показано в дальнейшем.

Обратные матрицы

Матрица называется обратной по отношению к данной A и обозначается A^-1, если при умножении её на данную получается единичная матрица:

A*A^-1=E .

Всякая квадратная матрица имеет обратную, если её определитель не равен нулю. Если известна обратная матрица коэффициентов системы линейных уравнений, то решение этой системы может быть представле-но в виде:

x_i= a_{i k}^-1a_{k n+1} . (3.5)

Методов обращения матриц много. Одним из удобных при исполь-зовании ЭВМ методов является обращение с помощью расширенной матрицы. Записав рядом с заданной единичную матрицу того же поряд-ка, получают прямоугольную матрицу размером n*2n. Затем производят сложение строк со специально подобранными множителями так, чтобы на месте заданной матрицы получить единичную. Тогда на месте единич-ной матрицы образуется искомая обратная матрица. Этот алгоритм, в предположении, что диагональные элементы исходной матрицы не равны нулю, может быть запрограммирован с помощью следующей процедуры.