Расчет определенного интеграла методом Симпсона
С определенными интегралами в технике приходится сталкиваться при вычислении площадей, объемов, моментов инерции, определении положения центров тяжести и т.п. Известно большое количество мето-дов численного интегрирования, различающихся точностью и сложнос-тью алгоритма.
Здесь будет изложен метод парабол, широко известный в литерату-ре как метод Симпсона. Метод хорошо реализуется на ЭВМ и позволяет получить результат с точностью достаточной для решения инженерных задач.
Как известно, численно определенный интеграл
S=
р
авен
площади (рис. 5.1), ограниченной осью x,
кривой y=f(x) и двумя пря-мыми x=a и x=b.
y=f(x)
S
| | | | |
| |
a b
Рис. 5.1. Геометрическое представление определенного интеграла
Весь диапазон интегрирования [a, b] равноотстоящими точками разби-вается на четное число n участков. Абсциссы узловых точек равны:
xi=a+i*h,
где i=0, 1, 2, ...n, h=(b-a)/n, x0=a, xn=b.
Соответственно вычисляются ординаты узловых точек:
yi=f(xi).
Тогда искомая площадь или значение интеграла S представляется как сумма площадей всех n полосок. В методе Симпсона для двух смежных полосок (рис. 5.2) подынтегральная функция аппроксимируется парабо-лой y=cx2+dx+e, проходящей через три узловые точки.
y
y=f(x) y=cx2+dx+e
Si
yi-1 yi yi+1
| | |
| h h
x
x0=a xi-1 xi xi+1 xn=b
Рис. 5.2 Геометрическая трактовка метода Симпсона
Легко убедиться что площадь этих
двух полосок ограниченных сверху
параболой равна: Si=
.
. Выполняя подобные аппроксимации для всех полосок и суммируя их площади, получают:
S=
или
S=
.
Блок-схема функции расчета определенного интеграла приведена на рис. 5.3.
Текст функции расчета определенного интеграла
Здесь массив ординат узловых точек обозначен идентификатором r .
function sm(n:integer;h:real;r:vec):real;
var k:integer;st:real;
begin st:=r[0]-r[n]; k:=4;
for i:=1 to n do
begin st:=st+k*r[i];k:=6-k
end; sm:=st*h/3
end;
S=y0 - yn
k=4
i=1, n
S=S+k*yi
k=6-k
S=S*h/3
конец функции
Рис. 5.3. Блок-схема функции
метода Симпсона