42. Понятие математического ожидания дискретной св, его свойства

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства:

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной. 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

43. Вероятностный смысл математического ожидания дискретной СВ.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение x_l, m₁ раз значение х₂, ..., m_к раз значение х_к, причем m₁+m2+…+mk=n. Тогда сумма всех значений, принятых X,равна

х₁m₁+x₂m₂+...+х_km_к.

Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

= (х₁m₁+x₂m₂+ ...+х_кm_к)/n,

или

= x₁(m₁/n) + х₂(m₂/n)+... +х_к(m_к/n). (*)

Заметив, что отношение m1/n — относительная частота W₁ значения x_l, m2/n — относительная частота W₂ значения х₂ и т.д., запишем соотношение (*) так:

= x₁W_l + x₂W₂ + ... + x_kW_k. (**)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероят- ности появления события:

W₁ p_l, W₂ p₂,… , W_k p_k.

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

x₁p_l + x₂p₂ + … + x_kp_k

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Итак,

M(X).

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

44. Понятие дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной СВ, их вероятностный смысл.

Пусть X—случайная величина и М (X)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X — М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения X известен:

X х₁ x₂ … х_n

Р p₁ P₂ … p_n

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁— М (X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х₁ — М (X), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

X —М(Х) х₁ — М (X) x₂ — М(Х) ... х_n—М (X) p p₁ р₂ ... р_n

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[Х — М (Х)] = 0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Дисперсия, таким образом, имеет очень простой смысл – это средний квадрат отклонения от среднего значения.