17) Линейные уравнения. Уравнение я. Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

где р(х) и g(x) - заданные функции, в частности - постоянные.

Особенность ДУ (2.11): искомая функция у и ее производная y' входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (2.11) - метод И. Бернулли и метод Лагранжа.

Метод И. Бернулли

Решение уравнения (2.11) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки y=u • v, где u=u(x) и v=v(x) - неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю - действительно любую функцию y(х) можно записать как

где v(x) ≠ 0). Тогда y'=u'•v+u•v'. Подставляя выражения y и y' в уравнение (2.11), получаем: u' • v+u • v'+р(х) • u • v=g(x) или

Подберем функцию v=v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ v'+р(х) • v=0. Итак, т. е. Интегрируя, получаем:

Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с=1. Отсюда

Подставляя найденную функцию v в уравнение (2.12), получаем

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

Возвращаясь к переменной υ, получаем решение

18.Общий ДУ уравнения 2-ого порядка, его решение.ДУ порядка выше 1ого назыв. ДУ высших порядков. ДУ 2ого порядка в общем случае запис. в виде F(x;y;y';y") = 0(1)или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:у" = f(х;у;у')(2).Решением ДУ(2)назыв. всякая фун. у = ф(x), которая при подст. в уравн. обращает его в тождество. Общ.реш. ДУ(2)назыв.фун. у — ф(x; с1; с2), где с1 и с2 — не зависящие от х произвол.постоянные, удовлет. условиям:1.ф(х;с1;с2) явл. решением ДУ для каждого фиксированного значения с1 и с2.

2)каковы бы не были нач.усл.-уl_x=x0=y0 ; y’l_x=x0=y0 (3)сущ.единств.знач. постоян.с1 = с₁⁰ и с2 = с₂⁰ такие что функция у =ф(х;с₁⁰;с₂⁰)явл.реш.уравн. (2) и удовл. нач.усл.Реш.ДУзаписан.в виде Ф(х;у;с1;с2)=0 и Ф(х;у;с₁⁰;с₂⁰)=0 – общ.ичастн.интеграл.Общ.реш. ДУ представл. собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящ. через точку (x0; у0) и имеющ. в ней касател. с заданным угл.коэфф. у’(x0) = у'.

19.Задача Коши для ДУ 2ого порядка.– это нахожд.реш. ДУ(2), удовлет.задан.нач.усл.(3).Теорема-Если в уравн. (2) фун. f(x;y;y') и ее частн.произв. f'_у и f'_y’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и у', то для всякой точки (хо; уо;у’₀) принадл. D сущ.единствен.реш.у = ф(x) уравн. (2), удовлет.нач.усл. (3).

20.Понятие о лин. ДУ 2ого порядка,ЛОДУиЛНДУ.Имеет вид- b₀(x)y⁽ⁿ⁾+b₁(x)y^(n-1)+…+b_n(x)y=g(x) (1). где б₀(х)не= 0, b₁(x),...,б_n(х),g(х) заданные фун. (от х), назыв. лин. ДУ n-го порядка.Оно содерж. искомую фун. у и все ее производ. лишь в 1ой степени.Фун. b₀(x),b₁(х),..., b_n(х) назыв.коэф.уравн.(1), а фун.g(х) — его свобод. членом. Если свобод. член g(х) = 0, то уравн.(1) назыв.ЛОДУ; если g(х)не= 0, то уравн. (1)назыв.неодн.

ЛОДУ 2ого порядка-y”+a₁(x)y’+a₂(x)y=0 (3).Теорема-Если фун.y₁=y₁(x) и у₂=у₂{х) явл.частн.реш.уравн. (3), то реш. этого уравн.явл. также функция y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) (4).где с1ис2 — произвол.постоян.

21.Лин.зависим.и независим.фун. Теоремаструкт.общ.реш. ЛОДУ 2ого порядка.Фун. y₁= у₁(х) и у₂=у₂(х) назыв.лин.-независим. на интервале (а;6), если равенствоальф₁у₁+альф₂у₂=0 (5),где альф₁,альф₂ € R, выполн. тогда и только тогда, когда aльф₁=альф₂ =0.Если хотя бы одно из чисел альф₁ или альф₂ отлично от нуля и выполн. равенство (5), то фун.у₁ и y₂назыв.лин.-зависим. на (а;б).Совокуп. любых 2х лин.-независим. на интервале (а;б) частных реш. у₁(х) и у₂(х) ЛОДУ 2ого порядка определ.фундамент.-систему реш. этого уравн.: любое призволь.реш. может быть получено как комбинация у=альф₁у₁(х)+альф₂у₂(х).Теорема(структ.общ.реш.ЛОДУ 2ого порядка). Если 2частн.реш.у₁=у₁(х) и у₂= у₂{х) ЛОДУ (3) образ. на интервале (а; 6) фундамент. систему, то общ.реш. этого уравн.явл.фун.y=c₁y₁+c₂y₂где c1 иc2 — произвол.постоян.

22.Понят.комплекс.числа.Действия над ними.Комплекс. числом z назыв.выраж. вида z = х + iу, где х и у — действит. числа., а i-так назыв. мнимая единица, i²=1.Суммой 2х комплекс. чисел z₁=х₁+iу₁ и z₂=х₂ +iу₂назыв.комплекс. число, определ. равенствомz₁ + z₂ = (x₁+х₂) + i(у₁+у₂) (1)

Разностью 2х компл. чисел z₁ и z₂назыв. такое комплек. число z, которое, будучи сложенным с z₂, даст число z₁, т. е. z=z₁-z₂, если z + z₂=z₁.Если z₁=х₁ + iy₁,

z₂=х₂ + iу₂, то из этого определ. легко получить z:z=z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂) (2).

Произвед.(умнож) комплекс. чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂назыв. комплекс. число, определяем.равенством:z=z₁z₂= (x₁x₂-y₁y₂)+i(х₁у₂+у₁x₂) (3)Отсюда, в частности, следует важнейш.соотнош. i²=-1.

Деле.определ. как действие, обратное умнож. Частным 2х комплексных чисел z₁ и z₂не= 0 назыв. комплекс.число z, которое, будучи умноженным на z₂, дает число z₁, т. е.z₁/z₂=z , если z₂z=z₁.

23.Реш.ЛОДУ 2ого порядка с постоян.коофф. в случаях:1…2…3…Уравн.назыв. характеристическим уравн. ДУ (50.1) (дляегосоставл.достаточ. в уравн. «заменить у", у' и у соответственно на к², к и 1).1.Корни к₁ и к₂уравн. действительные и различные: к₁не=к₂ (D=(р²/4)-q>0).В этом случ.реш.явл.-y₁=e^k1x,y₂=e^k2x. В итоге общ.реш.уравн.пофрмуле примет вид у=c₁e^k1x+c₂e^k2x2.Корни к₁ и к₂характерист.уравн. (2) действительные и равные: k₁= к₂ (D=(р²/4)-q=0, к₁= к₂=-(p/2)) В этом случ. имеем лишь одно частн.реш. у₁=е^к1х. В итоге общ.ре.уравн.примет вид у=c₁e^k1x+c₂e^k1x3.Корни к₁ и к₂уравн. (2) комплексные: k₁=альф+бетаK₂=альф+бетаi(D=(p²/4)-q<0,альф=-(p/2),бета=корень(q-(p²/4))>0)В этом случ.частн.реш.уравн. (1) явл.-фун. у₁=e^{(aльф+iбета)x} и y₂=е^{(альф-iбета)х}. По формулам Эйлера : е^iф=cosф+isin,е^-iф=cosф-isinф имеем у₁=е^альфх•е^iбетах=е^альфхсosбетах+ie^альфхsinбетах, у₂ =е^альфх•е^-iбетах=е^альфхсosбетах-ie^альфхsinбетах. В итоге общее решение примет вид – у=е^альфх(с₁cosбетах+с₂sinбетах).

24.Теорема о струк.общ.реш.ЛНДУ 2ого порядка.ЛНДУ2ого порядка у" + а₁(х)у' +а₂(х)у = f(x) (1) где a₁(х),а₂(х), f(x) — заданные, непрерывные на (а; Ь) фун. Уравн. у"+а₁(х)у' + а₂(х)у =0 (2) левая часть которого совп. с левой частью ЛНДУ (1), назыв. соответствующим ему однородным уравн.

Теорема(струк.общ.реш. ЛНДУ). Общ.Реш.ууравн. (1) явл.сумма его произволь.частногореш. у^*и общ.реш.у^{^}= с₁y₁+с₂у₂соответствующ.однородн. уравн.(2), т. е.у=у*+у^

25) Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

где р и q - некоторые числа.

Согласно теореме 5.1, общее решение уравнения (5.10) представляет собой сумму общего решениясоответствующего однородного уравненияи частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (5.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 5.2).

Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.10) существует более простой способ нахождения у*, если правая часть ƒ(х) уравнения (5.10) имеет так называемый «специальный вид»:

I. или

II.

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части ƒ(х) уравнения (5.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (5.10) имеет вид где а є R, Рn(х) - многочлен степени n. Уравнение (5.10) запишется в виде

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

где r - число, равное кратности а как корня характеристического уравнения (т.е. r - число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения - многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами Аi (i=l,2,...,n).

а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения т. е.Следовательно,

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (5.11), сокращения на , получим:

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, А1,..., Аn.

б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

В этом случае искать решение в форме нельзя, т. к. и уравнение (5.13) принимает вид

В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - многочлен степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (n+1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде (в равенстве (5.12) положить r=1).

в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения k2+рк+q=0, т. е. а=k1=k2. В этом случае а2+ра+q=0 и 2а+р=0, а поэтомy уравнение (5.13) принимает вид

Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение у* следует искать в виде

(в равенстве (5.12) положить r=2).

Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид

где Рn(х) и Qm(x) - многочлены степени n и m соответственно, а и β - действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14) следует искать в виде

где r - число, равное кратности а+βi как корня характеристического уравнения - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Рn(х) и

Замечания.

1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда

3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений.

26. Событие, виды событий.

В теории вероятностей всякое явление, о котором можно говорить, что оно происходит или не происходит,  называется событием.

Случайным событием называется событие, которое при определенном комплексе факторов может произойти, а может не произойти. Принято говорить “ произведено испытание ” в том случае, если такой комплекс факторов реализован.

Достоверные события - это события, которые при определенном комплексе факторов обязательно происходят.

Невозможным событием называется событие, которое при определенном комплексе факторов обязательно не происходит.

Несовместные события- два события несовместны, если появление одного исключает появление другого.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным чем другие.

Событием, противоположным событию А, называется событие   , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Используются следующие обозначения : Случайные события - А, В, С... или  А1, А2, А3… Достоверные события – U. Невозможные события – V.

27. Сумма и произведение событий. Противоположное событие.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие   , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

28. Несовместные, равновозможные события. Полная группа событий. Благоприятствующий случай.

2 события называют несовместными, если появление одного исключает появление другого.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным чем другие.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называют благоприятствующими этому событию.

Множество всех элементарных событий называют пространством (полной группой) элементарных событий.

29. Классическое определение вероятности. Границы изменения вероятности

Вероятностью события называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию к числу всех равновозможных исходов опыта.

P(A)=m/n, где

m – число благоприятствующих исходов;

n – общее число опытов.

Границы изменения вероятности

Вероятность случайного событий – положительное число <1

30. Предмет комбинаторики. Правило произведения.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий задачи выбора элементов из заданного множества и расположение их в группы по заданным правилам; в частности рассматривают задачи о подсчете числа комбинаций, т.е. выборок, получаемых из элементов заданного конечного множества.

Правило умножения:

Если из некоторого конечного множества объект Х можно выбрать n₁ способами, а объект Y после такого выбора можно взять n₂ способами, то оба объекта Х и Y можно взять в указанном порядке n₁*n₂ способами.

31. Понятие перестановок. Формула для нахождения числа перемещений.

Рассмотрим множество, состоящее из n различных элементов.

Перестановкой из n элементов называют выборки, содержащие n элементов, отличающиеся только порядком следования элементов.

P_n=n! n!=1*2*3*…*n

П р и м е р .  Найти число перестановок из трёх элементов:  a, b, c.

Р е ш е н и е .  В соответствии с приведенной формулой:  P₃ = 1 · 2 · 3 = 6.

32. Понятие размещений. Формула для нахождения числа размещений

Размещением из n элементов по m (0<m≤n) называют выборки, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения.

П р и м е р .  Найти число размещений из четырёх элементов  a, b, c, d по два.

Р е ш е н и е .  В соответствии с формулой получим:

33. Понятие сочетаний. Формула для нахождения числа сочетаний

Сочетанием из n элементов по m элементов (0<m≤n) называют выборки, отличающиеся только составом элементов.

=

П р и м е р . Найти число сочетаний из пяти элементов:  a, b, c, d, e  по три.

Р е ш е н и е :

34. Выражение формул для числа размещений и числа сочетаний через факториалы. Основное свойство сочетаний.

Формула для размещений: Формула для сочетаний:

= =

Основное свойство сочетаний:

35. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность противоположного события.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство: Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n)

Вероятность противоположного события.

Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть  p(A)+p( )=1. Следовательно, вероятность противоположного события = 1 – p(A)

36. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей двух событий, ее обобщение на любое число событий.

Вероятность события A при условии того, что событие B произошло, называется условной вероятностью и обозначается P(A/B) или P_A(B).

Теорема:

Вероятность произведения двух событий = произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии что произойдет первое событие.

P(AB)=P(A)* P_A(B)

37. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности.

Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А₁А₂ ... А_n) = Р (А₁) Р (А₂) ... Р (А_n).

38. Теорема сложения вероятностей двух совместных событий.

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B),  где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),  где A и B - зависимые;

39. Схема независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е.  , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой  .

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

40. Понятие случайной величины (СВ). Виды СВ.

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение.

СВ, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной (ДСВ).

Геометрически множество всех возможных значений дискретной случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси.

СВ, которая принимает все значения из некоторого промежутка – непрерывная случайная величина (НСВ).

41. Закон распределения дискретной СВ. Ряд распределения. Многоугольник распределения.

Пусть X — дискретная случайная величина, возможными и единственно возможными значениями которой являются числа x₁, х₂, …, х_n.

Обозначим через

p_i = Р(Х=х_i) (i = 1, 2…n)

вероятности этих значений (т. е. p_i есть вероятность события, состоящего в том, что X принимает значение x_i).

События X = x_i (i = 1, 2, …, n), очевидно, образуют полную группу событий, поэтому

p₁+p₂+…+p_n=1

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Закон распределения может быть задан таблично, графически и аналитически. При табличном задании 1 строка – значения величина, 2 строка – вероятности.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически: в системе координат строят точки (x_i; p_i) и соединяют их отрезками. Полученная ломаная называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.